Номер 8.7, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.7. Верно ли утверждение: “Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны”?

Данное утверждение является неверным. Тот факт, что прямая $a$, лежащая в плоскости $\alpha$, параллельна прямой $b$, лежащей в плоскости $\beta$, не является достаточным условием для параллельности самих плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, для того чтобы плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые в одной плоскости были соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости. Условие из вопроса рассматривает только одну пару параллельных прямых, чего недостаточно.

Чтобы доказать неверность утверждения, приведем контрпример.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$. В плоскости $\alpha$ проведем прямую $a$, параллельную прямой $c$. В плоскости $\beta$ проведем прямую $b$, также параллельную прямой $c$.

Из построения следует:

• Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
• Прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
• Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $c$, они параллельны между собой ($a \parallel b$).

Таким образом, мы выполнили все условия, перечисленные в утверждении. Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ по нашему построению не параллельны, а пересекаются по прямой $c$. Это доказывает, что исходное утверждение неверно.

Наглядный пример: представим себе раскрытую книгу. Два листа — это две пересекающиеся плоскости. Линия сгиба — это линия их пересечения. На каждом листе можно начертить прямую, параллельную линии сгиба. Эти две прямые будут параллельны друг другу, но сами листы (плоскости) пересекаются.

Ответ: Нет, утверждение неверно.