Номер 8.8, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.8. Верно ли утверждение: "Если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны"?

Данное утверждение неверно.

Для того чтобы плоскости были параллельны, необходимо, чтобы две пересекающиеся прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Это является признаком параллельности плоскостей. В условии задачи не уточняется, являются ли две прямые в первой плоскости пересекающимися или параллельными. Поэтому необходимо рассмотреть оба возможных случая.

Случай 1: Две прямые в первой плоскости пересекаются.

Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. В плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$. По условию, прямая $a$ параллельна прямой $a_1$ ($a \parallel a_1$), а прямая $b$ параллельна прямой $b_1$ ($b \parallel b_1$). Так как прямые $a$ и $b$ пересекаются, то и параллельные им прямые $a_1$ и $b_1$ также должны пересекаться. В этом случае полностью выполняется признак параллельности двух плоскостей. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Таким образом, в этом частном случае утверждение является верным.

Случай 2: Две прямые в первой плоскости параллельны.

Пусть в плоскости $\alpha$ лежат две параллельные прямые $a$ и $b$. Этот случай также удовлетворяет условию задачи, так как оно не накладывает ограничений на взаимное расположение прямых. Однако в этом случае утверждение может быть неверным, что можно доказать, приведя контрпример.

Контрпример.

Рассмотрим две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по некоторой прямой $l$. Например, это могут быть две смежные грани куба или две страницы раскрытой книги. Очевидно, что по построению эти плоскости не параллельны.

В плоскости $\alpha$ проведем две различные прямые $a$ и $b$, которые обе параллельны линии пересечения плоскостей $l$. Так как $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то по свойству транзитивности параллельных прямых имеем $a \parallel b$. Обе прямые лежат в плоскости $\alpha$.

Аналогичным образом, в плоскости $\beta$ проведем две различные прямые $a_1$ и $b_1$, которые также параллельны прямой $l$. Тогда $a_1 \parallel b_1$, и обе прямые лежат в плоскости $\beta$.

Поскольку все четыре прямые ($a, b, a_1, b_1$) параллельны одной и той же прямой $l$, они все параллельны между собой. В частности, это означает, что $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$.

Таким образом, мы построили конфигурацию, в которой условия утверждения полностью выполнены:

• есть две прямые $a$ и $b$, лежащие в плоскости $\alpha$;
• есть две прямые $a_1$ и $b_1$, лежащие в плоскости $\beta$;
• прямые из первой плоскости параллельны прямым из второй ($a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$).

Поскольку существует контрпример, в котором условия выполняются, а заключение — нет, исходное утверждение в общем виде является неверным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.