Номер 8.15, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 8. Параллельность плоскостей. Глава I. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве - номер 8.15, страница 54.

Условия.

8.15. Попробуйте определить понятие угла в пространстве.

Решение.

Решение 2.

Понятие угла в пространстве является обобщением понятия угла на плоскости и определяет взаимное расположение различных геометрических объектов: прямых и плоскостей. В зависимости от того, между какими объектами ищется угол, существуют разные определения.

Угол между двумя пересекающимися прямыми

Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости. Они образуют четыре угла. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из этих углов. Таким образом, его величина всегда находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если прямые $a$ и $b$ пересекаются, то угол между ними $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$. Если прямые перпендикулярны, угол равен $90^\circ$. Если прямые совпадают, угол равен $0^\circ$. С помощью векторов угол между прямыми с направляющими векторами $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Ответ: Угол между пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении, его величина от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым. Для нахождения этого угла можно выбрать произвольную точку $M$ в пространстве и провести через нее прямые $a_1$ и $b_1$, параллельные исходным прямым $a$ и $b$. Угол между $a_1$ и $b_1$ и будет искомым углом. Величина этого угла не зависит от выбора точки $M$. По определению, угол между скрещивающимися прямыми также принимается в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если направляющие векторы скрещивающихся прямых — $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$, то формула для вычисления угла $\alpha$ та же, что и для пересекающихся прямых: $\cos \alpha = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}$.

Ответ: Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между их параллельными "копиями", проведенными через одну точку; его величина от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен $90^\circ$. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол считается равным $0^\circ$. Во всех остальных случаях величина этого угла $\alpha$ находится в интервале $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$. Для вычисления угла между прямой с направляющим вектором $\vec{d}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ удобно сначала найти угол $\beta$ между векторами $\vec{d}$ и $\vec{n}$. Тогда искомый угол $\alpha$ будет равен $90^\circ - \beta$. Формула для вычисления: $\sin \alpha = |\cos \beta| = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}$.

Ответ: Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость; его величина от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол)

Фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называется двугранным углом. Эта общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется величина линейного угла соответствующего двугранного угла. Чтобы построить линейный угол, нужно на ребре двугранного угла выбрать произвольную точку и в каждой грани провести из этой точки луч, перпендикулярный ребру. Угол между этими лучами и есть линейный угол. Величина двугранного угла не зависит от выбора точки на ребре. Обычно под углом между плоскостями понимают наименьший из двух смежных двугранных углов, поэтому его величина находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если плоскости параллельны или совпадают, угол равен $0^\circ$. Если плоскости перпендикулярны, угол равен $90^\circ$. Угол $\alpha$ между плоскостями, заданными векторами нормалей $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$, равен углу между этими векторами (или смежному с ним). Формула для вычисления: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}$.

Ответ: Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях; его величина от $0^\circ$ до $90^\circ$.