Номер 9.3, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для пространства?

Нет, это утверждение неверно для пространства. В планиметрии данное утверждение верно и является теоремой. Однако в стереометрии (геометрии в пространстве) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, могут быть не только параллельными, но также могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Для того чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести хотя бы один контрпример, то есть случай, когда условие выполняется (две прямые перпендикулярны третьей), а заключение — нет (эти две прямые не параллельны).

Рассмотрим в качестве примера куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Выберем в качестве третьей прямой ребро $AA_1$.

2. Рассмотрим прямую $a$, проходящую через ребро $AB$. Поскольку грань $AA_1B_1B$ является квадратом, ее стороны $AB$ и $AA_1$ перпендикулярны. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $AA_1$. Математически это записывается как $a \perp AA_1$ (или $AB \perp AA_1$).

3. Рассмотрим прямую $b$, проходящую через ребро $AD$. Поскольку грань $AA_1D_1D$ также является квадратом, ее стороны $AD$ и $AA_1$ перпендикулярны. Следовательно, прямая $b$ перпендикулярна прямой $AA_1$. Математически это записывается как $b \perp AA_1$ (или $AD \perp AA_1$).

Итак, мы имеем две прямые, $a$ ($AB$) и $b$ ($AD$), которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $AA_1$. Однако прямые $a$ и $b$ не являются параллельными. Они пересекаются в точке $A$. Более того, они сами перпендикулярны друг другу, так как являются смежными сторонами квадрата $ABCD$ в основании куба.

Поскольку мы нашли пример пересекающихся прямых, которые удовлетворяют условию, общее утверждение о том, что они всегда параллельны, является ложным для пространства.

Стоит отметить, что такие прямые могут быть и параллельными (например, ребра $AB$ и $A_1B_1$ оба перпендикулярны ребру $AD$), и скрещивающимися (например, ребра $AB$ и $D_1C_1$ оба перпендикулярны ребру $AD$). Наличие хотя бы одного случая, где прямые не параллельны, делает исходное утверждение неверным для пространства.

Ответ: Нет, утверждение для пространства неверно.