Номер 9.6, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.6. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

а) Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$, а прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Так как плоскости оснований куба параллельны ($ABC \parallel A_1B_1C_1$), выполним параллельный перенос прямой $B_1D_1$ на прямую $BD$ в плоскость нижнего основания. Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$. Прямые $AC$ и $BD$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися. Прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $BCC_1B_1$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $BC$. Прямые $AB$ и $BC$ — это смежные рёбра куба, лежащие в основании $ABCD$. Угол между ними, $\angle ABC$, является углом квадрата, поэтому он равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. Прямая $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Для нахождения угла между ними выполним параллельный перенос одной из прямых. Перенесем прямую $BC_1$ параллельно самой себе так, чтобы точка $B$ перешла в точку $A$. При таком переносе точка $C_1$ перейдет в точку $D_1$, так как вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$ (поскольку $BC \parallel AD$ и $CC_1 \parallel DD_1$). Таким образом, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle B_1AD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда стороны этого треугольника являются диагоналями граней куба. Длина диагонали грани куба вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны: $AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2}$. Это означает, что треугольник $\triangle AB_1D_1$ — равносторонний. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.