Вопросы, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется углом в пространстве?

2. Что называется углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве?

3. Что называется углом между двумя скрещивающимися прямыми?

4. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными?

5. Какие свойства справедливы для углов в пространстве?

6. Как можно найти углы прямоугольного треугольника с известными сторонами?

7. Как можно найти углы произвольного треугольника с известными сторонами?

1. Что называется углом в пространстве?

Под углом в пространстве обычно понимают угол между какими-либо геометрическими объектами, такими как прямые или плоскости. Чаще всего рассматривают следующие виды углов:
- Угол между двумя прямыми (пересекающимися, параллельными или скрещивающимися).
- Угол между прямой и плоскостью.
- Угол между двумя плоскостями (двугранный угол).
В самом общем смысле, угол между двумя прямыми в пространстве определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.
Ответ:

2. Что называется углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве?

При пересечении двух прямых в пространстве образуются четыре неразвернутых угла. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется величина наименьшего из этих углов. Эта величина всегда находится в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если все образованные углы равны $90^\circ$, то прямые являются перпендикулярными.
Ответ:

3. Что называется углом между двумя скрещивающимися прямыми?

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Углом между двумя скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ называется угол между двумя пересекающимися прямыми $a_1$ и $b_1$, которые соответственно параллельны прямым $a$ и $b$. Для нахождения этого угла через произвольную точку пространства $M$ проводят прямые $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$. Угол между прямыми $a_1$ и $b_1$ и принимается за угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$. Величина этого угла не зависит от выбора точки $M$.
Ответ:

4. Какие две прямые в пространстве называются перпендикулярными?

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. Это определение справедливо как для пересекающихся, так и для скрещивающихся прямых. Обозначение: $a \perp b$.
Ответ:

5. Какие свойства справедливы для углов в пространстве?

Основные свойства, связанные с углами между прямыми в пространстве:
1. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.
2. Угол между любыми двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися) не превышает $90^\circ$.
3. Если прямая $a$ параллельна прямой $a_1$, а прямая $b$ параллельна прямой $b_1$, то угол между прямыми $a$ и $b$ равен углу между прямыми $a_1$ и $b_1$.
4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. (Если $a \parallel b$ и $a \perp c$, то $b \perp c$).
5. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости, а следовательно, и любой прямой в этой плоскости.
Ответ:

6. Как можно найти углы прямоугольного треугольника с известными сторонами?

Один из углов прямоугольного треугольника по определению равен $90^\circ$. Два других угла являются острыми, и их сумма составляет $90^\circ$. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Пусть $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$, а $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$. Если известны длины хотя бы двух сторон (третью можно найти по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$), острые углы можно вычислить с помощью тригонометрических функций:
- Через синус: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, откуда $\alpha = \arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$.
- Через косинус: $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, откуда $\alpha = \arccos\left(\frac{b}{c}\right)$.
- Через тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$, откуда $\alpha = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)$.
После нахождения одного острого угла $\alpha$, второй можно найти как $\beta = 90^\circ - \alpha$.
Ответ:

7. Как можно найти углы произвольного треугольника с известными сторонами?

Если известны длины всех трех сторон произвольного треугольника (обозначим их $a, b, c$), то его углы ($\alpha, \beta, \gamma$, лежащие напротив соответствующих сторон) можно найти с помощью теоремы косинусов. Теорема косинусов связывает стороны треугольника с косинусом одного из его углов. Например, для угла $\gamma$, противолежащего стороне $c$, формула имеет вид:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Из этой формулы можно выразить косинус угла:
$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Затем сам угол находится с помощью обратной тригонометрической функции арккосинуса:
$\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$
Аналогично вычисляются и два других угла. После нахождения одного или двух углов, оставшийся угол можно найти, используя свойство о сумме углов треугольника: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.
Ответ: