Номер 8.9, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.9. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, которые принадлежат обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет являться линией их пересечения.

Рассмотрим плоскости $ABC_1$ и $BCD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Поиск первой общей точки.
Точка $B$ по определению принадлежит плоскости $ABC_1$ (так как входит в её название $A\mathbf{B}C_1$).
Точка $B$ также по определению принадлежит плоскости $BCD_1$ (так как входит в её название $\mathbf{B}CD_1$).
Следовательно, точка $B$ является общей точкой для двух плоскостей и лежит на линии их пересечения.

2. Поиск второй общей точки.
Рассмотрим точку $D_1$. По определению, точка $D_1$ принадлежит плоскости $BCD_1$.
Теперь докажем, что точка $D_1$ также принадлежит плоскости $ABC_1$. Для этого нужно показать, что точки $A, B, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости (являются компланарными).
Проще всего это сделать с помощью векторов в системе координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$.
Тогда координаты интересующих нас вершин будут:
$A(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$D(0, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
Из них находим координаты точек $C_1$ и $D_1$:
$C_1$ получается сдвигом точки $C(a, a, 0)$ на вектор $\vec{AA_1}(0, 0, a)$, поэтому $C_1(a, a, a)$.
$D_1$ получается сдвигом точки $D(0, a, 0)$ на вектор $\vec{AA_1}(0, 0, a)$, поэтому $D_1(0, a, a)$.

Чтобы проверить, лежат ли точки $A, B, C_1, D_1$ в одной плоскости, нужно проверить компланарность векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC_1}$ и $\vec{AD_1}$, исходящих из одной точки $A$.
Найдем координаты этих векторов:
$\vec{AB} = (a-0, 0-0, 0-0) = (a, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$
$\vec{AD_1} = (0-0, a-0, a-0) = (0, a, a)$

Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение как определитель матрицы, составленной из координат векторов:
$(\vec{AB} \times \vec{AC_1}) \cdot \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ a & a & a \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = a \cdot (a \cdot a - a \cdot a) - 0 \cdot (a \cdot a - a \cdot 0) + 0 \cdot (a \cdot a - a \cdot 0) = a \cdot (a^2 - a^2) = 0$.
Поскольку смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Это означает, что точки $A, B, C_1, D_1$ лежат в одной плоскости. Следовательно, точка $D_1$ принадлежит плоскости $ABC_1$.

3. Вывод.
Мы установили, что точка $B$ и точка $D_1$ принадлежат обеим плоскостям: $ABC_1$ и $BCD_1$. Поскольку через две точки проходит единственная прямая, то линия пересечения этих плоскостей — это прямая, проходящая через точки $B$ и $D_1$.

Ответ: прямая $BD_1$.