Страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.9. Будут ли параллельны ребра $AB$ и $SC$ пирамиды: а) SABCD (рис. 5.6, а); б) SABCDEF (рис. 5.6, б)?

а)

б)

Рис. 5.6

а) Две прямые в пространстве могут быть параллельными только в том случае, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Рассмотрим ребра $AB$ и $SC$ пирамиды $SABCD$.
Ребро $AB$ является стороной основания и целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Вершина пирамиды $S$ по определению не лежит в плоскости основания.
Прямая $SC$, содержащая ребро $SC$, пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $C$. Поскольку $ABCD$ является основанием пирамиды, его вершины не лежат на одной прямой, следовательно, точка $C$ не принадлежит прямой $AB$. Таким образом, прямые $AB$ и $SC$ не пересекаются.
Чтобы определить, параллельны ли они, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Допустим, что ребра $AB$ и $SC$ параллельны. Тогда через них можно провести плоскость $\alpha$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки: $A$, $B$, $S$ и $C$. Однако точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, а точка $S$ — нет. Следовательно, четыре точки $A$, $B$, $S$, $C$ не могут лежать в одной плоскости. Мы пришли к противоречию.
Это означает, что исходное допущение о параллельности неверно. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: нет, ребра $AB$ и $SC$ не параллельны; они являются скрещивающимися.

б) Рассуждения для шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ полностью аналогичны предыдущему пункту. Ребро $AB$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, а ребро $SC$ соединяет вершину $S$, не лежащую в этой плоскости, с вершиной основания $C$.
Прямая $AB$ и прямая $SC$ не пересекаются, так как точка $C$ не лежит на прямой $AB$.
Если бы прямые $AB$ и $SC$ были параллельны, они бы определяли некоторую плоскость $\beta$. В этой плоскости лежали бы точки $A$, $B$, $S$ и $C$. Но, как и в случае с четырехугольной пирамидой, точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, а точка $S$ находится вне этой плоскости. Следовательно, эти четыре точки некомпланарны (не лежат в одной плоскости).
Таким образом, прямые $AB$ и $SC$ не лежат в одной плоскости и не могут быть параллельными. Они являются скрещивающимися.
Ответ: нет, ребра $AB$ и $SC$ не параллельны; они являются скрещивающимися.

5.10. Имеются ли параллельные ребра у правильной:

а) треугольной пирамиды (рис. 5.7, а);

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.7, б)?

а) Рис. 5.7 б)

а)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду. Ребра пирамиды можно разделить на две группы: ребра основания и боковые ребра.

1. Боковые ребра. Все боковые ребра пирамиды по определению пересекаются в одной точке — вершине пирамиды. Следовательно, никакие два боковых ребра не могут быть параллельными.

2. Ребра основания. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Стороны любого треугольника попарно пересекаются в его вершинах, поэтому среди ребер основания нет параллельных.

3. Боковое ребро и ребро основания. Любое боковое ребро (например, SA) и ребро основания (например, AB) либо имеют общую вершину (A), то есть пересекаются, либо не имеют общей вершины (например, SA и BC). В последнем случае ребра принадлежат скрещивающимся прямым, так как не лежат в одной плоскости. Две прямые могут быть параллельны только если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Поскольку ребра SA и BC не лежат в одной плоскости, они не могут быть параллельны.

Таким образом, в правильной треугольной пирамиде нет пар параллельных ребер.

Ответ: нет, в правильной треугольной пирамиде параллельных ребер не имеется.

б)

Рассмотрим правильную пятиугольную пирамиду. Как и в любом другом виде пирамид, все ее боковые ребра пересекаются в вершине, а значит, не могут быть параллельны друг другу. Аналогично предыдущему пункту, боковое ребро и ребро основания не могут быть параллельны, так как они либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

Следовательно, единственная возможность существования параллельных ребер в пирамиде — это наличие параллельных ребер в ее основании. Основанием правильной пятиугольной пирамиды является правильный пятиугольник.

В правильном многоугольнике параллельные стороны существуют только в том случае, если у него четное число сторон (например, у квадрата или правильного шестиугольника). У правильного пятиугольника, как и у любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон, нет параллельных сторон. Любые две стороны правильного пятиугольника либо пересекаются в общей вершине, либо их продолжения также пересекаются. Таким образом, в основании данной пирамиды нет параллельных ребер.

Из этого следует, что и во всей правильной пятиугольной пирамиде нет параллельных ребер.

Ответ: нет, в правильной пятиугольной пирамиде параллельных ребер не имеется.

5.11. Докажите, что для шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые: а) $AA_1$ и $CC_1$; б) $AA_1$ и $DD_1$ (рис. 5.8).

Рис. 5.8

а) По определению, шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — это многогранник, у которого основаниями являются равные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани являются параллелограммами.

Рассмотрим боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

1. Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $BB_1$. Запишем это в виде: $AA_1 \parallel BB_1$.

2. Грань $BCC_1B_1$ также является параллелограммом. Следовательно, её противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны: $BB_1 \parallel CC_1$.

3. Мы получили, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ в свою очередь параллельна прямой $CC_1$. По теореме о трех параллельных прямых (признак параллельности прямых), если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, из $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$ следует, что $AA_1 \parallel CC_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны.

б) Доказательство для прямых $AA_1$ и $DD_1$ проводится аналогично, используя свойство транзитивности параллельности прямых.

1. Как было доказано в пункте а), все боковые ребра призмы параллельны друг другу. Мы уже установили, что $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$, из чего следует $AA_1 \parallel CC_1$.

2. Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$. Это параллелограмм, поэтому его противоположные стороны $CC_1$ и $DD_1$ параллельны: $CC_1 \parallel DD_1$.

3. Мы имеем следующую цепочку параллельностей: $AA_1 \parallel CC_1$ и $CC_1 \parallel DD_1$. Применяя теорему о трех параллельных прямых, заключаем, что $AA_1 \parallel DD_1$.

В общем случае, все боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$) параллельны друг другу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $DD_1$ параллельны.

5.12. Запишите ребра правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, параллельные ребру:

а) $AA_1$

б) $AB$ (рис. 5.8).

Рис. 5.8

а) В правильной шестиугольной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям и, следовательно, параллельны друг другу. Ребро $AA_1$ является боковым ребром. Остальные боковые ребра призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — это $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$, $EE_1$ и $FF_1$. Все они параллельны ребру $AA_1$.
Ответ: $BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$.

б) Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания призмы. Чтобы найти параллельные ему ребра, рассмотрим ребра в основаниях и боковых гранях.
1. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$, так как основания призмы — это равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях ($AB \parallel A_1B_1$).
2. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны параллельны. Сторона, противолежащая $AB$, — это $ED$. Следовательно, $AB \parallel ED$.
3. Аналогично, в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ противолежащая сторона $E_1D_1$ параллельна стороне $A_1B_1$. Из $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel E_1D_1$ по свойству транзитивности следует, что $AB \parallel E_1D_1$.
Таким образом, ребру $AB$ параллельны три ребра: $A_1B_1$, $ED$ и $E_1D_1$.
Ответ: $A_1B_1, ED, E_1D_1$.

5.13. В тетраэдре $ABCD$ точки $E, F, G, H$ — середины ребер соответственно $AB, AD, BC, CD$ (рис. 5.9). Докажите, что прямые $EF$ и $GH$ параллельны.

Рис. 5.9

Рассмотрим грань тетраэдра, которая является треугольником $ABD$. По условию задачи, точка $E$ — середина ребра $AB$, а точка $F$ — середина ребра $AD$. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне этого треугольника. Таким образом, прямая $EF$ параллельна прямой $BD$, что записывается как $EF \parallel BD$.

Теперь рассмотрим другую грань тетраэдра — треугольник $BCD$. По условию, точка $G$ — середина ребра $BC$, а точка $H$ — середина ребра $CD$. Следовательно, отрезок $GH$ является средней линией треугольника $BCD$.

По тому же свойству средней линии, прямая $GH$ параллельна прямой $BD$, то есть $GH \parallel BD$.

Мы установили, что прямая $EF$ параллельна прямой $BD$ и прямая $GH$ также параллельна прямой $BD$. Согласно теореме о двух прямых, параллельных третьей (если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем сделать вывод, что прямая $EF$ параллельна прямой $GH$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Прямые $EF$ и $GH$ параллельны, так как каждая из них параллельна ребру $BD$ тетраэдра, будучи средними линиями в треугольниках $ABD$ и $BCD$ соответственно.

5.14. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямые.

Параллельные прямые — это математическая идеализация, которая описывает прямые линии, лежащие в одной плоскости и никогда не пересекающиеся, сколько бы их ни продолжали. В реальном мире, где объекты имеют толщину, конечную длину и неидеальную форму, мы можем найти множество примеров, которые служат прообразами этого абстрактного понятия.

Наиболее известным примером являются железнодорожные рельсы на прямом участке пути. Они уложены на постоянном расстоянии друг от друга и для наблюдателя выглядят идеально параллельными.

Другие примеры из повседневной жизни и техники:

• Противоположные края стола, книги, двери или оконной рамы. Если мысленно продолжить эти края, они не сойдутся.
• Струны на музыкальных инструментах, таких как гитара, скрипка или пианино. Они натянуты параллельно друг другу.
• Линии дорожной разметки, разделяющие полосы движения на прямом участке автомагистрали.
• Полки в книжном шкафу или стеллаже. Они устанавливаются параллельно друг другу и полу.
• Ступени лестницы или стремянки. Их горизонтальные поверхности параллельны.
• Лучи света от очень далекого источника, например, от Солнца. В оптике их принято считать параллельным пучком, что упрощает расчеты для линз и зеркал.
• Линии широты (параллели) на географической карте. По своему определению, они являются окружностями, лежащими в параллельных плоскостях.

Во всех этих случаях мы мысленно отбрасываем несущественные для данной задачи детали (например, кривизну Земли для рельсов на коротком участке) и представляем объекты в виде идеальных параллельных прямых.

Ответ: Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются параллельные прямые, служат: железнодорожные рельсы на прямом участке, противоположные края стола, струны гитары, линии дорожной разметки, ступени лестницы, лучи света от Солнца.