Страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.4. Может ли призма иметь:

а) 9 вершин;

б) 16 вершин?

Для того чтобы определить, может ли призма иметь заданное количество вершин, необходимо знать, как связано число вершин призмы с формой ее основания. Призма имеет два основания, которые являются одинаковыми многоугольниками. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У этого основания $n$ вершин. Так как у призмы два основания (верхнее и нижнее), общее количество вершин $В$ будет в два раза больше, чем количество вершин у одного основания.

Таким образом, формула для вычисления числа вершин призмы выглядит так: $В = 2n$ где $n$ — это количество вершин (и сторон) у многоугольника, лежащего в основании призмы. Важно, что $n$ должно быть целым числом, и, поскольку простейшим многоугольником является треугольник, $n \geq 3$.

Из этой формулы следует, что общее число вершин любой призмы всегда является четным числом.

а) Может ли призма иметь 9 вершин?
Число 9 является нечетным. Как мы установили, число вершин призмы всегда должно быть четным ($В = 2n$), так как оно равно удвоенному числу вершин основания. Следовательно, призма не может иметь 9 вершин.
Если мы попробуем использовать формулу, то получим: $9 = 2n$ $n = 9 / 2 = 4.5$ Число вершин в основании $n$ должно быть целым, а 4.5 не является целым числом. Это подтверждает, что призмы с 9 вершинами не существует.
Ответ: нет.

б) Может ли призма иметь 16 вершин?
Число 16 является четным, поэтому такая призма может существовать. Проверим это с помощью формулы: $16 = 2n$ $n = 16 / 2 = 8$ Мы получили целое число $n=8$, которое удовлетворяет условию $n \geq 3$. Это означает, что если в основании призмы будет лежать восьмиугольник, то у такой призмы будет $2 \times 8 = 16$ вершин. Такая призма называется восьмиугольной.
Ответ: да.

4.5. Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет:

а) 20 вершин;

б) 15 ребер?

а) 20 вершин
Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У любой n-угольной призмы есть два основания (верхнее и нижнее), и на каждом из них находится по $n$ вершин. Таким образом, общее количество вершин $V$ у призмы равно удвоенному количеству вершин основания: $V = 2n$.
Согласно условию, призма имеет 20 вершин. Подставим это значение в нашу формулу:
$2n = 20$
$n = \frac{20}{2}$
$n = 10$
Это означает, что в основании призмы лежит многоугольник с 10 вершинами, то есть десятиугольник.
Ответ: десятиугольник.

б) 15 ребер
Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У n-угольной призмы $n$ ребер в нижнем основании, $n$ ребер в верхнем основании и $n$ боковых ребер, которые соединяют соответствующие вершины оснований. Общее количество ребер $E$ вычисляется по формуле: $E = n + n + n = 3n$.
По условию, призма имеет 15 ребер. Подставим это значение в формулу:
$3n = 15$
$n = \frac{15}{3}$
$n = 5$
Это означает, что в основании призмы лежит многоугольник с 5 сторонами (и 5 вершинами), то есть пятиугольник.
Ответ: пятиугольник.

4.6. Определите вид призмы, которая имеет:

а) 10 вершин;

б) 18 ребер;

в) 8 граней.

а) Пусть в основании призмы лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник). Количество вершин у такой призмы вычисляется по формуле $V = 2n$, поскольку имеется по $n$ вершин на каждом из двух оснований. По условию задачи, призма имеет 10 вершин, то есть $V=10$. Составим и решим уравнение:
$2n = 10$
$n = 10 / 2 = 5$
Это означает, что в основании призмы лежит пятиугольник, следовательно, призма является пятиугольной.
Ответ: пятиугольная призма.

б) Количество ребер n-угольной призмы вычисляется по формуле $E = 3n$, так как у нее $n$ ребер на нижнем основании, $n$ ребер на верхнем основании и $n$ боковых ребер, соединяющих основания. По условию, количество ребер равно 18, то есть $E=18$. Составим и решим уравнение:
$3n = 18$
$n = 18 / 3 = 6$
Это означает, что в основании призмы лежит шестиугольник, следовательно, призма является шестиугольной.
Ответ: шестиугольная призма.

в) Количество граней n-угольной призмы вычисляется по формуле $F = n + 2$, где $n$ — это количество боковых граней (которое равно количеству сторон многоугольника в основании), а 2 — это два основания (верхнее и нижнее). По условию, количество граней равно 8, то есть $F=8$. Составим и решим уравнение:
$n + 2 = 8$
$n = 8 - 2 = 6$
Это означает, что в основании призмы лежит шестиугольник, следовательно, призма является шестиугольной.
Ответ: шестиугольная призма.

4.7. Может ли пирамида иметь:

а) 9 ребер;

б) 16 ребер?

Чтобы определить, может ли пирамида иметь заданное количество ребер, необходимо понять ее структуру. Пирамида состоит из многоугольника в основании и боковых граней, которые являются треугольниками, сходящимися в одной общей вершине.
Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. Этот многоугольник имеет $n$ сторон (ребер) и $n$ вершин. Каждая из $n$ вершин основания соединяется ребром с вершиной пирамиды. Эти ребра называются боковыми. Таким образом, у пирамиды $n$ боковых ребер.
Общее количество ребер пирамиды (обозначим его $E$) равно сумме количества ребер в основании и количества боковых ребер:$E = n + n = 2n$
Здесь $n$ — это количество сторон многоугольника в основании. Поскольку любой многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны (треугольник), то $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$.
Из формулы $E = 2n$ следует, что общее количество ребер у любой пирамиды всегда является четным числом.

а) Может ли пирамида иметь 9 ребер?
Общее количество ребер должно быть четным числом, а 9 — это нечетное число. Следовательно, пирамида не может иметь 9 ребер.
Если использовать формулу $E = 2n$:$9 = 2n$$n = \frac{9}{2} = 4.5$Поскольку количество сторон основания $n$ должно быть целым числом, пирамиды с 9 ребрами не существует.
Ответ: нет, не может.

б) Может ли пирамида иметь 16 ребер?
Число 16 — четное, поэтому это возможно. Проверим с помощью формулы $E = 2n$:$16 = 2n$$n = \frac{16}{2} = 8$Мы получили целое число $n = 8$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что пирамида может иметь в основании восьмиугольник. Такая пирамида будет иметь 8 ребер в основании и 8 боковых ребер, что в сумме составляет $8 + 8 = 16$ ребер.
Ответ: да, может.

4.8. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая

имеет:

а) 32 ребра;

б) 15 граней?

а)

Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. У такого многоугольника $n$ сторон, которые являются ребрами основания пирамиды. Также из каждой из $n$ вершин основания выходит по одному боковому ребру к вершине пирамиды. Таким образом, общее количество ребер пирамиды (Р) равно сумме числа ребер основания и числа боковых ребер: $Р = n + n = 2n$.

По условию задачи, пирамида имеет 32 ребра. Составим уравнение: $2n = 32$.

Найдем $n$: $n = \frac{32}{2} = 16$.

Следовательно, в основании пирамиды лежит многоугольник с 16-ю сторонами.

Ответ: шестнадцатиугольник.

б)

Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. Этот $n$-угольник является одной из граней пирамиды (основанием). Боковые грани пирамиды — это треугольники, которые соединяют стороны основания с вершиной пирамиды. Количество боковых граней равно количеству сторон основания, то есть $n$. Таким образом, общее количество граней пирамиды (Г) равно сумме основания и числа боковых граней: $Г = 1 + n$.

По условию задачи, пирамида имеет 15 граней. Составим уравнение: $1 + n = 15$.

Найдем $n$: $n = 15 - 1 = 14$.

Следовательно, в основании пирамиды лежит многоугольник с 14-ю сторонами.

Ответ: четырнадцатиугольник.

4.9. Определите вид пирамиды, которая имеет:

а) 10 вершин;

б) 18 ребер;

в) 8 граней.

Для определения вида пирамиды воспользуемся общими формулами для n-угольной пирамиды, где $n$ – это количество вершин (или сторон) многоугольника, лежащего в ее основании.

• Количество вершин (В) в n-угольной пирамиде равно количеству вершин в основании ($n$) плюс одна вершина (апекс): $В = n + 1$.
• Количество ребер (Р) в n-угольной пирамиде равно количеству ребер в основании ($n$) плюс количество боковых ребер, соединяющих вершины основания с апексом ($n$): $Р = 2n$.
• Количество граней (Г) в n-угольной пирамиде равно одной грани основания плюс количество боковых треугольных граней ($n$): $Г = n + 1$.

а) Дано, что пирамида имеет 10 вершин. Применим формулу для количества вершин:
$В = n + 1$
$10 = n + 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 10 - 1 = 9$
Так как в основании лежит многоугольник с 9 вершинами (девятиугольник), то данная пирамида является девятиугольной.
Ответ: девятиугольная пирамида.

б) Дано, что пирамида имеет 18 ребер. Применим формулу для количества ребер:
$Р = 2n$
$18 = 2n$
Отсюда находим $n$:
$n = 18 / 2 = 9$
Так как в основании лежит многоугольник с 9 сторонами (девятиугольник), то данная пирамида является девятиугольной.
Ответ: девятиугольная пирамида.

в) Дано, что пирамида имеет 8 граней. Применим формулу для количества граней:
$Г = n + 1$
$8 = n + 1$
Отсюда находим $n$:
$n = 8 - 1 = 7$
Так как в основании лежит многоугольник с 7 сторонами (семиугольник), то данная пирамида является семиугольной.
Ответ: семиугольная пирамида.

4.10. В четырехугольной пирамиде SABCD укажите пары пересекающихся плоскостей, которые содержат грани этой пирамиды (рис. 4.2, б).

б)
Рис. 4.2

В данной четырехугольной пирамиде $SABCD$ имеется пять граней: основание $ABCD$ и четыре боковые грани: $SAB$, $SBC$, $SCD$ и $SDA$. Каждая грань определяет плоскость в пространстве. Таким образом, у нас есть пять плоскостей: плоскость основания $(ABC)$ и четыре плоскости боковых граней $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$ и $(SDA)$.

Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются по прямой. В пирамиде любые две плоскости, содержащие ее грани, не параллельны, а значит, пересекаются. Найдем все пары таких пересекающихся плоскостей и прямые, по которым они пересекаются.

1. Пересечение плоскости основания с плоскостями боковых граней.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SAB)$ пересекаются по прямой $AB$, так как обе плоскости проходят через точки $A$ и $B$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SBC)$ пересекаются по прямой $BC$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SCD)$ пересекаются по прямой $CD$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SDA)$ пересекаются по прямой $DA$.

2. Пересечение плоскостей смежных боковых граней.

- Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ имеют общее боковое ребро $SB$, следовательно, они пересекаются по прямой $SB$.

- Плоскости $(SBC)$ и $(SCD)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SC$.

- Плоскости $(SCD)$ и $(SDA)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SD$.

- Плоскости $(SDA)$ и $(SAB)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SA$.

3. Пересечение плоскостей противолежащих боковых граней.

- Плоскости $(SAB)$ и $(SCD)$ имеют одну общую точку — вершину $S$. Поскольку две непараллельные плоскости пересекаются по прямой, эта прямая должна проходить через точку $S$.

- Плоскости $(SBC)$ и $(SDA)$ также имеют общую точку $S$ и, следовательно, пересекаются по прямой, проходящей через эту вершину.

Таким образом, существует 10 пар пересекающихся плоскостей, содержащих грани пирамиды.

Ответ: Парами пересекающихся плоскостей являются:

1) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SAB)$;

2) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SBC)$;

3) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SCD)$;

4) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SDA)$;

5) плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SBC)$;

6) плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SCD)$;

7) плоскость $(SCD)$ и плоскость $(SDA)$;

8) плоскость $(SDA)$ и плоскость $(SAB)$;

9) плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SCD)$;

10) плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SDA)$.

4.11. На рисунке 4.5 найдите фигуры, которые являются развертками призм. Определите вид этих призм.

а)

б)

в)

г)

Рис. 4.5

а) Эта фигура является разверткой призмы. Она состоит из четырех прямоугольников, которые образуют боковую поверхность, и двух одинаковых многоугольников (в данном случае, квадратов или прямоугольников), которые являются основаниями. При сворачивании четыре боковые грани образуют замкнутую боковую поверхность, а два основания закрывают ее сверху и снизу. Так как боковые грани — прямоугольники, призма является прямой. В основании лежит четырехугольник. Следовательно, это прямая четырехугольная призма.
Ответ: Является разверткой прямой четырехугольной призмы.

б) Эта фигура является разверткой призмы. Она состоит из трех боковых граней и двух треугольных оснований. Количество боковых граней (три) соответствует количеству сторон треугольного основания. При сворачивании три боковые грани образуют боковую поверхность, а два треугольника, прикрепленные к одной из граней, становятся верхним и нижним основаниями. Так как боковые грани являются параллелограммами (не все из них прямоугольники), призма является наклонной.
Ответ: Является разверткой наклонной треугольной призмы.

в) Эта фигура не является разверткой призмы. Три прямоугольника, которые могли бы быть боковыми гранями, соединены таким образом, что не могут образовать замкнутую боковую поверхность призмы. Боковые грани призмы должны быть соединены последовательно по бокам, чтобы их можно было "обернуть" вокруг основания. Кроме того, два треугольных основания прикреплены с одной и той же стороны, что привело бы к их наложению или невозможности сформировать замкнутое тело.
Ответ: Не является разверткой призмы.

г) Эта фигура является разверткой призмы. Она состоит из трех прямоугольников (боковых граней) и двух треугольников (оснований). Три прямоугольника, соединенные последовательно, образуют боковую поверхность. Два треугольных основания прикреплены к разным боковым граням (к первой и третьей) и при сворачивании окажутся на противоположных сторонах, формируя верхнее и нижнее основания. Так как боковые грани — прямоугольники, это прямая призма. В основании лежит треугольник.
Ответ: Является разверткой прямой треугольной призмы.