Номер 6.14, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.14. Возможно ли такое расположение карандашей (рис. 6.12)? Ответ объясните.

Рис. 6.12

Нет, такое расположение карандашей, как показано на рисунке, в реальном трехмерном пространстве невозможно, если карандаши являются прямыми и твердыми телами. Изображение является примером невозможной фигуры, которую можно нарисовать, но нельзя сконструировать.

Объясним, почему это так. Проследим за взаимным расположением карандашей по принципу "сверху-снизу". Для удобства пронумеруем карандаши:

Карандаш 1 — направлен из левого верхнего угла в правый нижний.

Карандаш 2 — направлен из правого верхнего угла в левый нижний.

Карандаш 3 — расположен почти горизонтально.

Анализируя рисунок, мы видим следующую циклическую зависимость:

1. В месте пересечения карандашей 1 и 2, карандаш 2 лежит сверху карандаша 1.

2. В месте пересечения карандашей 2 и 3, карандаш 3 лежит сверху карандаша 2.

3. В месте пересечения карандашей 3 и 1, карандаш 1 лежит сверху карандаша 3.

Теперь переведем это на язык математики. Пусть $H_1, H_2, H_3$ — условные вертикальные уровни, на которых находятся карандаши. Если один объект лежит "сверху" другого, его вертикальный уровень выше.

Из пункта 1 следует, что уровень карандаша 2 выше уровня карандаша 1: $H_2 > H_1$.

Из пункта 2 следует, что уровень карандаша 3 выше уровня карандаша 2: $H_3 > H_2$.

Из этих двух неравенств по свойству транзитивности следует, что $H_3 > H_2 > H_1$, из чего вытекает, что $H_3 > H_1$. Это значит, что карандаш 3 должен быть расположен выше карандаша 1.

Однако, согласно пункту 3, на рисунке изображено обратное: карандаш 1 лежит сверху карандаша 3, что математически означает $H_1 > H_3$.

Мы получили два взаимоисключающих утверждения: $H_3 > H_1$ и $H_1 > H_3$. Такое логическое противоречие доказывает, что подобная пространственная конфигурация из трех прямых жестких стержней невозможна.

Ответ: Нет, такое расположение карандашей невозможно.