Номер 5.1, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.1. Известно, что на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Данное утверждение, которое является аксиомой для геометрии на плоскости, неверно для трехмерного пространства.

Обоснование для плоскости (планиметрия): Пусть прямые a и b параллельны ($a \parallel b$) и лежат в одной плоскости $\alpha$. Пусть прямая c, также лежащая в плоскости $\alpha$, пересекает прямую a. Если предположить, что прямая c не пересекает прямую b, то из этого следует, что $c \parallel b$. В таком случае через точку пересечения прямых a и c проходят две разные прямые (a и c), которые обе параллельны прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых Евклида. Следовательно, на плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, обязательно пересекает и вторую.

Анализ для пространства (стереометрия): В пространстве, кроме пересекающихся и параллельных прямых, существуют также скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Именно этот случай служит контрпримером к исходному утверждению.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть в трехмерной декартовой системе координат даны две параллельные прямые:

1. Прямая a, совпадающая с осью абсцисс (Ox).

2. Прямая b, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 1, 0). Она может быть задана параметрически как $x=t, y=1, z=0$.

Обе эти прямые лежат в плоскости Oxy ($z=0$) и параллельны друг другу.

Теперь рассмотрим третью прямую, c, которая совпадает с осью ординат (Oy). Прямая c пересекает прямую a (ось Ox) в начале координат, точке (0, 0, 0).

Однако прямая c (ось Oy) не пересекает прямую b. Точки на прямой c имеют координаты $(0, y, 0)$, а точки на прямой b — $(x, 1, 0)$. Чтобы они пересеклись, их координаты должны совпасть. Из $x=0$ (для прямой c) и $y=1$ (для прямой b) получаем точку (0, 1, 0). Эта точка лежит на обеих прямых, значит, в данном примере прямые b и c пересекаются.

Рассмотрим другой контрпример, где прямые будут скрещивающимися. Пусть прямые a и b остаются теми же. Возьмем в качестве прямой c ось аппликат (Oz).

Прямая c (ось Oz) пересекает прямую a (ось Ox) в начале координат (0, 0, 0).

Проверим, пересекаются ли прямые c и b. Любая точка на прямой c имеет координаты $(0, 0, z)$. Любая точка на прямой b имеет координаты $(x, 1, 0)$. Не существует таких значений переменных, при которых эти координаты совпали бы, так как для прямой c координата $y$ всегда равна 0, а для прямой b она всегда равна 1. Следовательно, прямые b и c не пересекаются. Они также не параллельны, так как их направляющие векторы не коллинеарны. Таким образом, прямые b и c являются скрещивающимися.

Этот пример показывает, что в пространстве прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не обязательно пересекает вторую.

Ответ: Нет, это утверждение неверно для пространства.