Номер 5.2, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.2. Известно, что на плоскости через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную. Будет ли это утверждение верно для пространства?

Утверждение, приведенное в задаче, является одной из формулировок аксиомы о параллельных прямых (пятого постулата Евклида) для планиметрии (геометрии на плоскости). На плоскости две прямые либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (то есть параллельны). Поэтому через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, и следовательно, только одну прямую, не пересекающую данную.

Рассмотрим теперь ситуацию в трехмерном пространстве. Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$). Мы ищем все прямые, которые проходят через точку $M$ и не пересекают прямую $a$.

В пространстве две прямые могут иметь три варианта взаимного расположения:
1. Пересекаться (иметь одну общую точку).
2. Быть параллельными (лежать в одной плоскости и не пересекаться).
3. Быть скрещивающимися (не лежать в одной плоскости и не пересекаться).

Прямые, которые не пересекают данную прямую $a$, — это как параллельные ей прямые, так и скрещивающиеся с ней прямые.

1. Параллельные прямые. Через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость, назовем ее $\alpha$. В этой плоскости, согласно аксиоме для планиметрии, через точку $M$ проходит ровно одна прямая $b$, параллельная прямой $a$. Эта прямая $b$ не пересекает прямую $a$.

2. Скрещивающиеся прямые. Рассмотрим любую прямую $c$, которая проходит через точку $M$, но не лежит в плоскости $\alpha$. Докажем, что такая прямая $c$ не может пересечь прямую $a$. Предположим обратное: прямая $c$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $K$. Тогда обе точки $M$ и $K$ принадлежат прямой $c$. Но точка $K$ также лежит на прямой $a$, а значит, принадлежит плоскости $\alpha$. Точка $M$ по условию тоже принадлежит плоскости $\alpha$. Поскольку две точки ($M$ и $K$) прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $c$ должна лежать в плоскости $\alpha$. Это противоречит нашему выбору прямой $c$ (мы выбрали ее не лежащей в плоскости $\alpha$). Следовательно, наше предположение неверно, и любая прямая, проходящая через $M$ и не лежащая в плоскости $\alpha$, не пересекает прямую $a$. Такие прямые являются скрещивающимися с прямой $a$.

Через точку $M$ в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, не лежащих в одной конкретной плоскости $\alpha$. Например, можно провести через точку $M$ другую плоскость $\beta$, пересекающую $\alpha$. Все прямые, лежащие в плоскости $\beta$ и проходящие через $M$ (кроме одной, которая является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$), не лежат в плоскости $\alpha$ и, следовательно, скрещиваются с прямой $a$.

Таким образом, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, в пространстве проходит одна прямая, параллельная $a$, и бесконечное множество прямых, скрещивающихся с $a$. Все они не пересекают прямую $a$. Следовательно, существует бесконечное множество прямых, проходящих через заданную точку и не пересекающих данную прямую.

Ответ: Нет, данное утверждение неверно для пространства. В пространстве через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих данную (одна параллельная и бесконечное множество скрещивающихся).