Номер 4.16, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.16. На клетчатой бумаге изображены ребра: а) четырехугольной; б) шестиугольной пирамиды (рис. 4.9). Изобразите всю пирамиду.

а)

б)

Рис. 4.9

а)

Для построения четырехугольной пирамиды необходимо определить координаты всех ее вершин и достроить недостающие ребра, определив их видимость.

1. Проанализируем исходные данные на клетчатой бумаге. Зададим систему координат, где одна клетка равна единице. На изображении показаны три ребра пирамиды. Определим координаты вершин:

• Вершина пирамиды (апекс): $S = (3, 7)$.
• Вершина основания $V_1 = (1, 3)$, соединенная с апексом невидимым (штриховым) ребром $SV_1$.
• Вершина основания $V_2 = (5, 3)$, соединенная с $V_1$ невидимым ребром основания $V_1V_2$.
• Вершина основания $V_3 = (7, 1)$, соединенная с $V_2$ видимым (сплошным) ребром основания $V_2V_3$. (Предполагаем, что ребра соединены последовательно, несмотря на небольшую неточность в изображении).

2. Основанием пирамиды является четырехугольник $V_1V_2V_3V_4$. Три вершины известны. Для задач такого типа характерно, что основание является параллелограммом. Найдем четвертую вершину $V_4$, используя свойство параллелограмма (равенство векторов противоположных сторон): $\vec{V_1V_4} = \vec{V_2V_3}$.
Вектор $\vec{V_2V_3} = (7-5, 1-3) = (2, -2)$.
Тогда координаты $V_4$ равны $V_1 + \vec{V_2V_3} = (1, 3) + (2, -2) = (3, 1)$.
Итак, вершины основания: $V_1(1,3), V_2(5,3), V_3(7,1), V_4(3,1)$.

3. Определим видимость недостающих ребер.

• Из того, что ребра $SV_1$ и $V_1V_2$ невидимы (штриховые), следует, что вершины $V_1$ и $V_2$ являются "задними", т.е. скрытыми от наблюдателя.
• Ребро $V_2V_3$ видимо, значит, вершина $V_3$ является "передней", видимой. Вершина $V_4(3,1)$ также является видимой.
• Ребро основания $V_3V_4$: соединяет две видимые вершины, является передним ребром. Рисуем сплошной линией.
• Ребро основания $V_4V_1$: соединяет видимую вершину $V_4$ и невидимую $V_1$. Такое ребро является контурным, оно видимо. Рисуем сплошной линией.
• Боковое ребро $SV_2$: соединяет апекс с невидимой вершиной $V_2$. Оно будет скрыто видимыми гранями пирамиды. Рисуем штриховой линией.
• Боковое ребро $SV_3$: соединяет апекс с видимой вершиной $V_3$. Является контурным ребром пирамиды. Рисуем сплошной линией.
• Боковое ребро $SV_4$: соединяет апекс с видимой вершиной $V_4$. Находится на видимой грани. Рисуем сплошной линией.

Ответ:

б)

Для построения шестиугольной пирамиды выполним аналогичные действия.

1. Проанализируем исходные данные. На изображении показаны одно боковое ребро и два ребра основания. Определим координаты вершин:

• Вершина пирамиды (апекс): $S = (4, 6)$.
• Вершина основания $V_1 = (5, 3)$, соединенная с апексом невидимым ребром $SV_1$.
• Вершины основания, образующие видимую цепь ребер: $V_4 = (1, 2)$, $V_5 = (3, 1)$ и $V_6 = (7, 1)$. Ребра $V_4V_5$ и $V_5V_6$ видимы (сплошные).

2. Основанием является шестиугольник. В таких задачах часто предполагается, что основание является центрально-симметричным шестиугольником. Найдем недостающие вершины $V_2$ и $V_3$. Если шестиугольник $V_1V_2V_3V_4V_5V_6$ центрально-симметричен, то его центр симметрии $O$ является серединой диагоналей, соединяющих противоположные вершины (например, $V_1$ и $V_4$).
Найдем центр симметрии $O$ как середину отрезка $V_1V_4$: $O = \frac{V_1+V_4}{2} = \frac{(5,3)+(1,2)}{2} = (3, 2.5)$.
Теперь найдем недостающие вершины $V_2$ и $V_3$, зная, что $V_5$ и $V_6$ противоположны им соответственно:
$V_2 = 2O - V_5 = 2(3, 2.5) - (3, 1) = (6, 5) - (3, 1) = (3, 4)$.
$V_3 = 2O - V_6 = 2(3, 2.5) - (7, 1) = (6, 5) - (7, 1) = (-1, 4)$.
Итак, вершины основания: $V_1(5,3), V_2(3,4), V_3(-1,4), V_4(1,2), V_5(3,1), V_6(7,1)$.

3. Определим видимость недостающих ребер.

• $SV_1$ — невидимое ребро, значит $V_1$ — невидимая вершина. Из соображений симметрии, $V_2$ и $V_3$ также невидимы.
• $V_4V_5$ и $V_5V_6$ — видимые ребра, значит $V_4, V_5, V_6$ — видимые вершины.
• Ребра основания $V_1V_2$ и $V_2V_3$: соединяют невидимые вершины, находятся на задней стороне основания. Рисуем штриховыми линиями.
• Ребра основания $V_3V_4$ и $V_6V_1$: соединяют видимую и невидимую вершины, являются контурными. Рисуем сплошными линиями.
• Боковые ребра $SV_2$ и $SV_3$: соединяют апекс с невидимыми вершинами. Рисуем штриховыми линиями.
• Боковые ребра $SV_4$, $SV_5$ и $SV_6$: соединяют апекс с видимыми вершинами. Они образуют видимую поверхность пирамиды. Рисуем сплошными линиями.

Ответ: