Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Используя обозначения, попробуйте переформулировать эту аксиому самостоятельно.

4. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Используя обозначения, попробуйте переформулировать эту аксиому самостоятельно.

5. Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются все аксиомы планиметрии.

4. Данная аксиома постулирует существование как минимум четырех точек, которые не являются компланарными, то есть не лежат в одной плоскости. Это фундаментальное свойство, которое отличает трехмерное пространство от двумерной плоскости (где любые четыре точки всегда компланарны).

Для переформулировки с использованием общепринятых геометрических обозначений, обозначим точки заглавными латинскими буквами $A, B, C, D$, а плоскость — греческой буквой $\alpha$. Знак $\in$ означает принадлежность («лежит на/в»), а знак $\notin$ — непринадлежность.

Аксиому можно переформулировать так: существуют четыре точки $A, B, C, D$ такие, что не существует плоскости $\alpha$, которой бы они все одновременно принадлежали. Другими словами, для любой плоскости $\alpha$ хотя бы одна из этих четырех точек будет ей не принадлежать. Например, если точки $A, B, C$ лежат в плоскости $\alpha$, то точка $D$ ей не принадлежит. Это можно записать с помощью символов.

Наглядный пример — тетраэдр (треугольная пирамида). Три его вершины, например $A, B, C$, образуют основание и лежат в одной плоскости $\alpha$. Четвертая вершина $D$ находится вне этой плоскости. Таким образом, для точек $A, B, C, D$ не существует одной общей плоскости.

Ответ: Существуют точки $A, B, C, D$ такие, что не найдется ни одной плоскости $\alpha$, для которой одновременно выполнялись бы условия: $A \in \alpha, B \in \alpha, C \in \alpha, D \in \alpha$.

5. Эта аксиома устанавливает, что любая плоскость в трехмерном пространстве является, по сути, самостоятельным двумерным миром, который подчиняется всем законам планиметрии. Это значит, что все определения, аксиомы и теоремы, которые мы знаем для точек и прямых на плоскости, верны и для точек и прямых, если они все лежат в одной плоскости в пространстве.

Чтобы переформулировать это с использованием обозначений, выберем произвольную плоскость $\alpha$ в пространстве. Пусть точки $A, B, C, \dots$ и прямые $a, b, c, \dots$ полностью лежат в этой плоскости (то есть, $A \in \alpha, B \in \alpha, \dots$ и $a \subset \alpha, b \subset \alpha, \dots$). Аксиома утверждает, что для этих объектов будут выполняться все аксиомы планиметрии.

Например, аксиома принадлежности прямой (через любые две точки проходит единственная прямая) для плоскости $\alpha$ будет означать, что для любых двух различных точек $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$ существует единственная прямая $a$, которая проходит через эти точки ($A \in a, B \in a$) и при этом целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Точно так же аксиома параллельных прямых для плоскости $\alpha$ будет утверждать, что для любой прямой $a \subset \alpha$ и любой точки $A \in \alpha$, не принадлежащей прямой $a$ ($A \notin a$), существует единственная прямая $b \subset \alpha$, которая проходит через точку $A$ и параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Ответ: Для любой плоскости $\alpha$ в пространстве, совокупность всех точек, принадлежащих плоскости $\alpha$, и всех прямых, лежащих в плоскости $\alpha$, образует модель, в которой выполняются все аксиомы планиметрии.