Номер 1.9, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

1.9. Повторите аксиомы геометрии на плоскости.

Аксиомы геометрии на плоскости (планиметрии) — это набор исходных утверждений, принимаемых без доказательства, на основе которых строятся все дальнейшие теоремы и определения. Наиболее известной и строгой является система аксиом Гильберта, которая делится на пять групп.

I. Аксиомы принадлежности (инцидентности)

Эти аксиомы устанавливают самые основные связи между точками и прямыми.

I.1. Для любых двух различных точек $A$ и $B$ существует единственная прямая, проходящая через эти точки.

I.2. Каждая прямая содержит по меньшей мере две точки.

I.3. Существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Ответ: Данная группа аксиом определяет базовые взаимоотношения между основными объектами планиметрии — точками и прямыми, а также постулирует существование этих объектов в достаточном количестве для построения нетривиальной геометрии.

II. Аксиомы порядка

Эти аксиомы определяют взаимное расположение точек на прямой, вводя понятие «лежать между».

II.1. Если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то $A$, $B$, $C$ — это три различные точки на одной прямой, и $B$ также лежит между $C$ и $A$.

II.2. Для любых двух различных точек $A$ и $C$ на прямой $AC$ существует по крайней мере одна точка $B$, такая, что $C$ лежит между $A$ и $B$.

II.3. Из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

II.4. (Аксиома Паша) Пусть $A$, $B$, $C$ — три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть $a$ — прямая в плоскости $ABC$, не проходящая ни через одну из этих точек. Если прямая $a$ пересекает отрезок $AB$, то она пересечёт либо отрезок $AC$, либо отрезок $BC$.

Ответ: Эта группа аксиом вводит понятие порядка точек на прямой, что позволяет определить такие понятия, как отрезок, луч и полуплоскость, и описывает, как прямая разделяет плоскость.

III. Аксиомы конгруэнтности (равенства)

Эти аксиомы вводят понятие равенства для отрезков и углов, которое в геометрии называется конгруэнтностью.

III.1. На любой прямой от данной точки в данную сторону можно отложить отрезок, равный (конгруэнтный) данному, и притом только один.

III.2. Отношение конгруэнтности для отрезков транзитивно. То есть, если отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $AB$, и отрезок $A''B''$ конгруэнтен отрезку $AB$, то отрезок $A'B'$ конгруэнтен отрезку $A''B''$. (Конгруэнтность также рефлексивна и симметрична).

III.3. Если точка $B$ лежит между $A$ и $C$, а точка $B'$ лежит между $A'$ и $C'$, и при этом отрезки $AB$ и $A'B'$ конгруэнтны, а отрезки $BC$ и $B'C'$ конгруэнтны, то отрезки $AC$ и $A'C'$ также конгруэнтны.

III.4. В данную полуплоскость относительно данной прямой можно отложить угол, конгруэнтный данному углу, и притом только один.

III.5. (Аксиома конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними) Если для двух треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ имеет место конгруэнтность $AB \cong A'B'$, $AC \cong A'C'$, и $\angle BAC \cong \angle B'A'C'$, то эти треугольники конгруэнтны ($ \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' $).

Ответ: Аксиомы конгруэнтности позволяют сравнивать геометрические фигуры (отрезки, углы, треугольники) по размеру и форме, вводя фундаментальное понятие равенства в геометрию.

IV. Аксиома непрерывности

Эта аксиома гарантирует "сплошность" прямой, отсутствие в ней "дыр".

IV.1. (Аксиома Архимеда) Каковы бы ни были отрезки $AB$ и $CD$, существует такое натуральное число $n$, что если отложить отрезок $CD$ $n$ раз подряд от точки $A$ вдоль луча $AB$, то полученная точка окажется за пределами точки $B$.

Ответ: Аксиома непрерывности (в форме аксиомы Архимеда) обеспечивает возможность измерения отрезков и связь геометрии с теорией действительных чисел, исключая существование "бесконечно малых" или "бесконечно больших" отрезков по отношению друг к другу.

V. Аксиома параллельности

Эта аксиома определяет уникальное свойство евклидовой геометрии.

V.1. (Аксиома Евклида) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. (В сочетании с доказанным фактом существования хотя бы одной параллельной прямой, это означает, что существует ровно одна такая прямая).

Ответ: Аксиома параллельности является определяющей для евклидовой геометрии. Её принятие ведёт к таким важным следствиям, как теорема о сумме углов треугольника, равной $180^\circ$, и теорема Пифагора. Отказ от этой аксиомы приводит к построению неевклидовых геометрий (например, геометрии Лобачевского).