Номер 1.7, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1.7. Сколько прямых проходит через различные пары из:

а) трех точек;

б) четырех точек;

в) пяти точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?

Для решения этой задачи необходимо найти количество уникальных прямых, которые можно провести через заданное количество точек. Каждая прямая однозначно определяется двумя различными точками. Если у нас есть $n$ точек, и никакие три из них не лежат на одной прямой, то количество прямых равно количеству способов выбрать 2 точки из $n$. Это является задачей на нахождение числа сочетаний.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (в нашем случае $k=2$):
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

а) В случае трех точек возможны два сценария в зависимости от их расположения.

1. Точки не лежат на одной прямой. Тогда количество прямых равно числу пар, которые можно составить из этих точек. Используя формулу сочетаний для $n=3$:
$C_3^2 = \frac{3(3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.
Можно провести 3 прямые.

2. Все три точки лежат на одной прямой. В этом случае все пары точек определяют одну и ту же прямую, поэтому можно провести только 1 прямую.

Так как в пункте в) дано условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, будем считать, что для пунктов а) и б) подразумевается наиболее общий случай, то есть первый сценарий.

Ответ: 3.

б) Для четырех точек, принимая во внимание предположение, что никакие три из них не лежат на одной прямой, количество прямых будет равно числу сочетаний из 4 по 2.

Рассчитаем по формуле для $n=4$:
$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.
Таким образом, можно провести 6 прямых.

Ответ: 6.

в) В этом случае дано 5 точек и явно указано, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Это значит, что каждая пара точек определяет уникальную прямую.

Находим количество прямых как число сочетаний из 5 по 2, то есть для $n=5$:
$C_5^2 = \frac{5(5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Следовательно, можно провести 10 прямых.

Ответ: 10.