Страница 139 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15.18. В окружность вписан квадрат со стороной $6\sqrt{2}$ см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти радиус окружности по известной стороне вписанного в нее квадрата, а затем, зная этот радиус, найти сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

1. Найдем радиус окружности.

Сторона вписанного квадрата, обозначим ее $a_4$, равна $6\sqrt{2}$ см. Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной соотношением:
$R = \frac{a_4}{\sqrt{2}}$

Подставим в формулу значение стороны квадрата:
$R = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$ см.

Итак, радиус окружности равен 6 см.

2. Найдем сторону правильного треугольника.

Для правильного треугольника, описанного около окружности, эта окружность является вписанной. Следовательно, радиус вписанной окружности $r$ для треугольника равен радиусу нашей окружности $R$.
$r = R = 6$ см.

Сторона правильного треугольника, обозначим ее $a_3$, связана с радиусом вписанной в него окружности $r$ следующей формулой:
$a_3 = 2\sqrt{3} \cdot r$

Подставим известное значение радиуса $r = 6$ см:
$a_3 = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

15.19. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A)$

По условию задачи нам известны сторона $AC = b$ и угол $\angle A = \alpha$. Чтобы применить эту формулу, необходимо найти длину стороны $AB$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{AB}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{b}{\sin \beta}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{b}{\sin \beta}$

Выразим из этого уравнения длину стороны $AB$:

$AB = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}$

Наконец, подставим полученное выражение для $AB$ в исходную формулу для площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}\right) \cdot \sin \alpha$

После упрощения получаем итоговую формулу:

$S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}$

Ответ: $S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}$