Страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника утверждает, что площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула, выражающая эту теорему, выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — это площадь ортогональной проекции многоугольника.
• $S$ — это площадь исходного многоугольника.
• $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостью, в которой расположен многоугольник, и плоскостью проекции (при этом $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$).

Обоснование (на примере треугольника):

Доказательство теоремы удобно провести сначала для треугольника, так как любой многоугольник можно разбить на конечное число треугольников (триангулировать).

1. Рассмотрим простой случай, когда одна из сторон треугольника $ABC$, например сторона $AB$, параллельна плоскости проекции $\pi$. Пусть $A_1B_1C_1$ — ортогональная проекция треугольника $ABC$ на плоскость $\pi$.

2. Поскольку $AB \parallel \pi$, длина ее проекции $A_1B_1$ равна длине самой стороны $AB$. Проведем высоты $CH$ в треугольнике $ABC$ и $C_1H_1$ в его проекции. $H_1$ является проекцией точки $H$.

3. Площадь исходного треугольника вычисляется как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

4. Площадь его проекции: $S_{пр} = S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot C_1H_1$.

5. Отрезок $C_1H_1$ является ортогональной проекцией высоты $CH$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $CH$, ее проекцией $C_1H_1$ и проектирующим лучом $CC_1$, видно, что катет $C_1H_1$ связан с гипотенузой $CH$ через косинус угла $\alpha$ между плоскостями: $C_1H_1 = CH \cdot \cos(\alpha)$.

6. Подставим полученные соотношения в формулу для площади проекции:

$S_{пр} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot C_1H_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot (CH \cdot \cos(\alpha)) = \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\right) \cdot \cos(\alpha) = S_{ABC} \cdot \cos(\alpha)$.

Теорема доказана для частного случая. Общий случай, когда ни одна из сторон треугольника не параллельна плоскости проекции, сводится к этому путем разбиения исходного треугольника на два. Так как любой многоугольник можно разбить на треугольники, а площадь проекции многоугольника равна сумме площадей проекций этих треугольников, то теорема верна для любого плоского многоугольника.

Ответ: Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Формула: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S$ - площадь многоугольника, $S_{пр}$ - площадь его проекции, $\alpha$ - угол между плоскостями.

15.1. Может ли площадь проекции многоугольника быть равной площади самого многоугольника?

15.1. Да, может.

Площадь ортогональной (прямоугольной) проекции плоской фигуры, какой является многоугольник, на некоторую плоскость связана с площадью самой фигуры следующей формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Угол $\alpha$ обычно рассматривается в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0 \le \alpha \le \pi/2$), поэтому значение $\cos(\alpha)$ всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Для того чтобы площадь проекции была равна площади самого многоугольника ($S_{пр} = S$), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенство:

$S \cdot \cos(\alpha) = S$

Поскольку речь идет о многоугольнике, его площадь $S$ является положительной величиной ($S > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $S$, что дает нам условие для угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = 1$

В диапазоне $0 \le \alpha \le \pi/2$ это уравнение имеет единственное решение: $\alpha = 0$.

Угол между двумя плоскостями равен нулю тогда и только тогда, когда эти плоскости параллельны.

Таким образом, площадь проекции многоугольника равна площади самого многоугольника в том случае, когда плоскость, содержащая этот многоугольник, параллельна плоскости проекции. В этом случае проекция является фигурой, конгруэнтной (равной) исходному многоугольнику.

Ответ: Да, может. Это происходит, когда плоскость многоугольника параллельна плоскости проекции.

самого многоугольника.

15.2. Может ли площадь проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника?

Да, может. Ответ на этот вопрос зависит от вида проекции, так как сам термин «проекция» может означать разные геометрические преобразования.

1. Ортогональная проекция

Если речь идет об ортогональной (прямоугольной) проекции, то площадь проекции многоугольника не может быть больше площади самого многоугольника. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Поскольку значение косинуса не превышает 1 ($0 \le \cos(\alpha) \le 1$ для углов от 0° до 90°), то площадь проекции всегда будет меньше или равна площади исходной фигуры: $S_{пр} \le S$. Равенство достигается только тогда, когда многоугольник параллелен плоскости проекции ($\alpha = 0$, $\cos(0) = 1$).

2. Параллельная (косая) или центральная проекция

Если же рассматривать другие виды проекций, например, параллельную косую или центральную, то площадь проекции может быть больше площади самого многоугольника. Приведем пример для параллельной (косой) проекции.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть наш многоугольник — это квадрат OABC, лежащий в плоскости $yz$ ($x=0$), с вершинами в точках:

• O(0, 0, 0)
• A(0, 1, 0)
• B(0, 1, 1)
• C(0, 0, 1)

Площадь этого квадрата $S_{OABC} = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь спроецируем этот квадрат на плоскость $xy$ ($z=0$) параллельно вектору $\vec{v} = (k, 0, -1)$, где $k$ — некоторое положительное число. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0, z_0)$ фигуры переходит в точку $(x_p, y_p, 0)$ на плоскости проекции по правилу: $(x_p, y_p, 0) = (x_0, y_0, z_0) + t \cdot \vec{v}$. Из условия $z_p=0$ находим $z_0 + t \cdot (-1) = 0$, откуда $t = z_0$. Тогда координаты проекции: $(x_0 + k \cdot z_0, y_0, 0)$.

Найдем проекции вершин нашего квадрата:

• O(0, 0, 0) $\rightarrow$ O'(0, 0, 0)
• A(0, 1, 0) $\rightarrow$ A'(0, 1, 0)
• B(0, 1, 1) $\rightarrow$ B'($0+k\cdot1$, 1, 0) = B'(k, 1, 0)
• C(0, 0, 1) $\rightarrow$ C'($0+k\cdot1$, 0, 0) = C'(k, 0, 0)

В результате на плоскости $xy$ мы получили четырехугольник O'A'B'C' — это прямоугольник со сторонами длиной 1 (вдоль оси Y) и $k$ (вдоль оси X). Его площадь $S_{пр} = 1 \cdot k = k$.

Площадь исходного квадрата была равна 1, а площадь его проекции равна $k$. Выбрав любое значение $k > 1$, мы получим, что площадь проекции больше площади самого многоугольника. Например, при $k=2$ площадь проекции будет в два раза больше исходной площади.

Аналогично, при центральной проекции (подобно тени от фонарика) можно легко получить проекцию, площадь которой значительно превосходит площадь исходной фигуры.

Ответ: Да, может, если проекция не является ортогональной (например, при косой параллельной или центральной проекции).

15.3. Найдите площадь проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна $18\sqrt{2}$ см$^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $45^\circ$.

15.3.

Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость вычисляется по формуле: $S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$, где $S$ — площадь самой фигуры, а $\alpha$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

По условию задачи нам даны:

Площадь многоугольника $S = 18\sqrt{2}$ см².

Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции $\alpha = 45°$.

Найдем косинус данного угла:

$\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для площади проекции:

$S_{пр} = 18\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 18\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполним вычисления:

$S_{пр} = \frac{18 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2} = \frac{18 \cdot 2}{2} = 18$ см².

Ответ: 18 см².

15.4. Найдите площадь многоугольника, если площадь его проекции на некоторую плоскость равна $24\text{ см}^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $30^\circ$.

Для нахождения площади многоугольника воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции плоской фигуры. Согласно этой теореме, площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — площадь проекции многоугольника.
• $S$ — площадь исходного многоугольника.
• $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

По условию задачи нам дано:

• $S_{пр} = 24 \text{ см}^2$
• $\alpha = 30^\circ$

Нам нужно найти $S$. Выразим $S$ из формулы:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$

Теперь подставим известные значения в формулу. Значение косинуса угла $30^\circ$ является табличным:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Произведем расчет:

$S = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$S = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$

Таким образом, площадь многоугольника равна $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

15.5. Площадь многоугольника равна $20 \text{ см}^2$, а площадь его проекции – $16 \text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Для нахождения угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции используется формула, связывающая площадь фигуры и площадь её ортогональной проекции. Площадь проекции ($S_{пр}$) равна площади самой фигуры ($S$), умноженной на косинус угла ($\alpha$) между их плоскостями.

Формула имеет вид:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:
Площадь многоугольника $S = 20 \text{ см}^2$.
Площадь его проекции $S_{пр} = 16 \text{ см}^2$.

Выразим из формулы косинус угла $\alpha$:
$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$

Подставим известные значения в это выражение:
$\cos(\alpha) = \frac{16}{20}$

Сократим полученную дробь:
$\cos(\alpha) = \frac{4}{5} = 0.8$

Теперь, чтобы найти сам угол $\alpha$, необходимо вычислить арккосинус этого значения:
$\alpha = \arccos(\frac{4}{5})$

Ответ: $\arccos(\frac{4}{5})$.

15.6. Многоугольник $F_1$ — проекция многоугольника $F$ на некоторую плоскость. Заполните таблицу.

Для решения этой задачи используется формула, связывающая площадь плоской фигуры с площадью ее ортогональной проекции на плоскость. Формула имеет вид:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника (в нашем случае $F$), $S_{пр}$ — площадь его проекции ($F_1$), а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Таким образом, мы будем использовать формулу:

$S_{F_1} = S_F \cdot \cos(\alpha)$

Заполним пропуски в таблице, выполнив расчеты для каждой строки.

15.7. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, изображённого на рисунке 15.4, равно 2 см. Используя теорему о площади ортогональной проекции, вычислите площадь сечения $AB_1C_1D$.

Рис. 15.4

Для решения задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции: площадь проекции фигуры на плоскость ($S_{пр}$) равна произведению площади самой фигуры ($S_{сеч}$) на косинус угла ($\alpha$) между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. Формула имеет вид: $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$. Из этой формулы можно выразить искомую площадь сечения: $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$.

1. Нахождение проекции сечения и ее площади
В качестве плоскости проекции выберем плоскость основания куба $(ABCD)$. Ортогональной проекцией сечения $AB_1C_1D$ на эту плоскость будет четырехугольник $ABCD$. Это следует из того, что проекциями вершин $A$ и $D$ являются сами эти точки, а проекциями вершин $B_1$ и $C_1$ являются точки $B$ и $C$ соответственно, так как ребра $B_1B$ и $C_1C$ перпендикулярны плоскости основания.
Проекцией является квадрат $ABCD$. Его площадь равна квадрату ребра куба:
$S_{пр} = S_{ABCD} = a^2 = 2^2 = 4 \text{ см}^2$.

2. Нахождение угла между плоскостями
Угол $\alpha$ между плоскостью сечения $(AB_1C_1D)$ и плоскостью основания $(ABCD)$ — это двугранный угол вдоль их линии пересечения $AD$. Величина этого угла равна углу между двумя перпендикулярами, проведенными к ребру $AD$ в одной точке, лежащими в этих плоскостях.
В плоскости основания $(ABCD)$ перпендикуляром к $AD$ является ребро $AB$.
В плоскости сечения $(AB_1C_1D)$ перпендикуляром к $AD$ является диагональ $AB_1$, так как ребро $AD$ перпендикулярно всей грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, любой прямой, лежащей в этой грани.
Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle BAB_1$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB_1$. Его катеты $AB$ и $BB_1$ равны ребру куба, то есть $AB = BB_1 = 2$ см. Так как катеты равны, этот треугольник является равнобедренным, а его острый угол $\angle BAB_1 = 45^\circ$.
Следовательно, $\alpha = 45^\circ$, а косинус этого угла равен $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление площади сечения
Теперь, зная площадь проекции и косинус угла, можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $4\sqrt{2} \text{ см}^2$.