Номер 2, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 137.

Условие.

самого многоугольника.

15.2. Может ли площадь проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника?

Решение 1.

Решение 3.

Да, может. Ответ на этот вопрос зависит от вида проекции, так как сам термин «проекция» может означать разные геометрические преобразования.

1. Ортогональная проекция

Если речь идет об ортогональной (прямоугольной) проекции, то площадь проекции многоугольника не может быть больше площади самого многоугольника. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Поскольку значение косинуса не превышает 1 ($0 \le \cos(\alpha) \le 1$ для углов от 0° до 90°), то площадь проекции всегда будет меньше или равна площади исходной фигуры: $S_{пр} \le S$. Равенство достигается только тогда, когда многоугольник параллелен плоскости проекции ($\alpha = 0$, $\cos(0) = 1$).

2. Параллельная (косая) или центральная проекция

Если же рассматривать другие виды проекций, например, параллельную косую или центральную, то площадь проекции может быть больше площади самого многоугольника. Приведем пример для параллельной (косой) проекции.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Пусть наш многоугольник — это квадрат OABC, лежащий в плоскости $yz$ ($x=0$), с вершинами в точках:

• O(0, 0, 0)
• A(0, 1, 0)
• B(0, 1, 1)
• C(0, 0, 1)

Площадь этого квадрата $S_{OABC} = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь спроецируем этот квадрат на плоскость $xy$ ($z=0$) параллельно вектору $\vec{v} = (k, 0, -1)$, где $k$ — некоторое положительное число. Это означает, что каждая точка $(x_0, y_0, z_0)$ фигуры переходит в точку $(x_p, y_p, 0)$ на плоскости проекции по правилу: $(x_p, y_p, 0) = (x_0, y_0, z_0) + t \cdot \vec{v}$. Из условия $z_p=0$ находим $z_0 + t \cdot (-1) = 0$, откуда $t = z_0$. Тогда координаты проекции: $(x_0 + k \cdot z_0, y_0, 0)$.

Найдем проекции вершин нашего квадрата:

• O(0, 0, 0) $\rightarrow$ O'(0, 0, 0)
• A(0, 1, 0) $\rightarrow$ A'(0, 1, 0)
• B(0, 1, 1) $\rightarrow$ B'($0+k\cdot1$, 1, 0) = B'(k, 1, 0)
• C(0, 0, 1) $\rightarrow$ C'($0+k\cdot1$, 0, 0) = C'(k, 0, 0)

В результате на плоскости $xy$ мы получили четырехугольник O'A'B'C' — это прямоугольник со сторонами длиной 1 (вдоль оси Y) и $k$ (вдоль оси X). Его площадь $S_{пр} = 1 \cdot k = k$.

Площадь исходного квадрата была равна 1, а площадь его проекции равна $k$. Выбрав любое значение $k > 1$, мы получим, что площадь проекции больше площади самого многоугольника. Например, при $k=2$ площадь проекции будет в два раза больше исходной площади.

Аналогично, при центральной проекции (подобно тени от фонарика) можно легко получить проекцию, площадь которой значительно превосходит площадь исходной фигуры.

Ответ: Да, может, если проекция не является ортогональной (например, при косой параллельной или центральной проекции).