Номер 4, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 4, страница 137.

Условие.

15.4. Найдите площадь многоугольника, если площадь его проекции на некоторую плоскость равна $24\text{ см}^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $30^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения площади многоугольника воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции плоской фигуры. Согласно этой теореме, площадь проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — площадь проекции многоугольника.
• $S$ — площадь исходного многоугольника.
• $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

По условию задачи нам дано:

• $S_{пр} = 24 \text{ см}^2$
• $\alpha = 30^\circ$

Нам нужно найти $S$. Выразим $S$ из формулы:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos(\alpha)}$

Теперь подставим известные значения в формулу. Значение косинуса угла $30^\circ$ является табличным:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Произведем расчет:

$S = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$S = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3}$

Таким образом, площадь многоугольника равна $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} \text{ см}^2$.