Номер 1, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 137.

Условие.

15.1. Может ли площадь проекции многоугольника быть равной площади самого многоугольника?

Решение 1.

Решение 3.

15.1. Да, может.

Площадь ортогональной (прямоугольной) проекции плоской фигуры, какой является многоугольник, на некоторую плоскость связана с площадью самой фигуры следующей формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника, $S_{пр}$ — площадь его проекции, а $\alpha$ — это двугранный угол между плоскостью, в которой лежит многоугольник, и плоскостью проекции. Угол $\alpha$ обычно рассматривается в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0 \le \alpha \le \pi/2$), поэтому значение $\cos(\alpha)$ всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Для того чтобы площадь проекции была равна площади самого многоугольника ($S_{пр} = S$), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенство:

$S \cdot \cos(\alpha) = S$

Поскольку речь идет о многоугольнике, его площадь $S$ является положительной величиной ($S > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $S$, что дает нам условие для угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = 1$

В диапазоне $0 \le \alpha \le \pi/2$ это уравнение имеет единственное решение: $\alpha = 0$.

Угол между двумя плоскостями равен нулю тогда и только тогда, когда эти плоскости параллельны.

Таким образом, площадь проекции многоугольника равна площади самого многоугольника в том случае, когда плоскость, содержащая этот многоугольник, параллельна плоскости проекции. В этом случае проекция является фигурой, конгруэнтной (равной) исходному многоугольнику.

Ответ: Да, может. Это происходит, когда плоскость многоугольника параллельна плоскости проекции.