Номер 6, страница 137 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 137.

Условие.

15.6. Многоугольник $F_1$ — проекция многоугольника $F$ на некоторую плоскость. Заполните таблицу.

Площадь многоугольника $F$	Угол между плоскостями многоугольников $F$ и $F_1$	Площадь многоугольника $F_1$
12 см$^2$	60°
	45°	8 см$^2$
32 см$^2$		$16\sqrt{3}$ см$^2$

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется формула, связывающая площадь плоской фигуры с площадью ее ортогональной проекции на плоскость. Формула имеет вид:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходного многоугольника (в нашем случае $F$), $S_{пр}$ — площадь его проекции ($F_1$), а $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Таким образом, мы будем использовать формулу:

$S_{F_1} = S_F \cdot \cos(\alpha)$

Заполним пропуски в таблице, выполнив расчеты для каждой строки.

Площадь многоугольника $F_1$ (расчет для первой строки)

Дано: площадь многоугольника $F$ равна $S_F = 12 \text{ см}^2$, а угол между плоскостями $\alpha = 60^\circ$.

Найдем площадь проекции $S_{F_1}$, подставив данные в формулу:

$S_{F_1} = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{F_1} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}^2$

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

Площадь многоугольника $F$ (расчет для второй строки)

Дано: угол между плоскостями $\alpha = 45^\circ$, а площадь многоугольника $F_1$ равна $S_{F_1} = 8 \text{ см}^2$.

Чтобы найти площадь исходного многоугольника $S_F$, выразим ее из основной формулы:

$S_F = \frac{S_{F_1}}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения:

$S_F = \frac{8}{\cos(45^\circ)}$

Так как значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S_F = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}^2$

Ответ: $8\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Угол между плоскостями многоугольников $F$ и $F_1$ (расчет для третьей строки)

Дано: площадь многоугольника $F$ равна $S_F = 32 \text{ см}^2$, а площадь многоугольника $F_1$ равна $S_{F_1} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Чтобы найти угол $\alpha$, выразим $\cos(\alpha)$ из основной формулы:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{F_1}}{S_F}$

Подставим известные значения:

$\cos(\alpha) = \frac{16\sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.