Номер 12, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 12, страница 138.

Условие.

15.12. Сторона правильного шестиугольника равна 2 см, а площадь его проекции – $9 \text{ см}^2$. Найдите угол между плоскостью данного шестиугольника и плоскостью его проекции.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла между плоскостью шестиугольника и плоскостью его проекции воспользуемся формулой, связывающей площадь фигуры и площадь её ортогональной проекции:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где $S$ — площадь исходной фигуры (шестиугольника), $S_{пр}$ — площадь её проекции, а $\alpha$ — искомый угол между плоскостями.

Из этой формулы можно выразить косинус угла:

$\cos(\alpha) = \frac{S_{пр}}{S}$

По условию, площадь проекции $S_{пр} = 9$ см². Теперь найдём площадь $S$ правильного шестиугольника со стороной $a = 2$ см.

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника, то есть $a = 2$ см. Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S_{\triangle} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Площадь всего шестиугольника $S$ равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \sqrt{3}$ см².

Теперь мы можем найти косинус угла $\alpha$, подставив известные значения $S$ и $S_{пр}$ в формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{9}{6 \sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\cos(\alpha) = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.