Номер 13, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 138.

Условие.

15.13. Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$, треугольник $A_2B_2C_2$ – проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S_{ABC}$, $S_{A_1B_1C_1}$ и $S_{A_2B_2C_2}$ — площади треугольников $ABC$, $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ соответственно. Обозначим искомый угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ через $\varphi$. По определению, угол между плоскостями $0 \le \varphi \le 90^\circ$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Треугольник $A_1B_1C_1$ является проекцией треугольника $ABC$ на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$ равен $\varphi$. Следовательно, их площади связаны соотношением:

$S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cdot \cos(\varphi)$

Треугольник $A_2B_2C_2$ является проекцией треугольника $A_1B_1C_1$ на плоскость $ABC$. Треугольник $A_1B_1C_1$ лежит в плоскости $\alpha$, а его проекция $A_2B_2C_2$ — в плоскости $ABC$. Угол между этими плоскостями также равен $\varphi$. Поэтому:

$S_{A_2B_2C_2} = S_{A_1B_1C_1} \cdot \cos(\varphi)$

Теперь подставим первое выражение во второе, чтобы связать площади $S_{A_2B_2C_2}$ и $S_{ABC}$:

$S_{A_2B_2C_2} = (S_{ABC} \cdot \cos(\varphi)) \cdot \cos(\varphi) = S_{ABC} \cdot \cos^2(\varphi)$

По условию задачи, площадь треугольника $ABC$ вдвое больше площади треугольника $A_2B_2C_2$:

$S_{ABC} = 2 \cdot S_{A_2B_2C_2}$

Отсюда можно выразить $S_{A_2B_2C_2}$:

$S_{A_2B_2C_2} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Подставим это соотношение в полученную ранее формулу:

$\frac{1}{2} S_{ABC} = S_{ABC} \cdot \cos^2(\varphi)$

Поскольку площадь треугольника $ABC$ не равна нулю ($S_{ABC} > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $S_{ABC}$:

$\cos^2(\varphi) = \frac{1}{2}$

Так как $\varphi$ — угол между плоскостями, он является острым или прямым, поэтому его косинус неотрицателен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$\cos(\varphi) = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это $45^\circ$.

$\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.