Номер 14, страница 138 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 15. Площадь ортогональной проекции многоугольника. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 14, страница 138.

Условие.

15.14. Угол между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции равен $60^\circ$. Найдите площадь данного многоугольника, если сумма площадей этого многоугольника и его проекции равна $30 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $S$ — искомая площадь данного многоугольника, а $S_{пр}$ — площадь его проекции. Угол $\alpha$ между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции по условию равен $60^\circ$.

Площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость вычисляется по формуле:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

Подставим в формулу значение угла $\alpha = 60^\circ$:
$S_{пр} = S \cdot \cos(60^\circ)$
Поскольку значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$S_{пр} = S \cdot \frac{1}{2} = \frac{S}{2}$

Из условия задачи известно, что сумма площадей многоугольника и его проекции равна 30 см²:
$S + S_{пр} = 30$

Теперь составим уравнение, подставив в него выражение для $S_{пр}$, которое мы нашли ранее:
$S + \frac{S}{2} = 30$

Решим это уравнение относительно $S$:
$\frac{2S}{2} + \frac{S}{2} = 30$
$\frac{3S}{2} = 30$
$3S = 30 \cdot 2$
$3S = 60$
$S = \frac{60}{3}$
$S = 20$

Следовательно, площадь данного многоугольника составляет 20 см².

Ответ: 20 см².