Номер 2, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

"Стереометрическое" расположение двух прямых. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 2, страница 142.

Условие.

2. Верно ли, что через каждую точку пространства можно провести прямую так, чтобы она пересекала две данные скрещивающиеся прямые?

Решение 1.

Решение 3.

Нет, это утверждение неверно.

Рассмотрим общий способ построения такой прямой, а затем покажем, в каком случае он не работает.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $M$, не принадлежащая ни одной из этих прямых.

Если искомая прямая $c$ существует, то она должна проходить через точку $M$ и пересекать прямую $a$. Все такие прямые лежат в одной плоскости $α$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $a$.

Аналогично, прямая $c$ должна проходить через точку $M$ и пересекать прямую $b$. Все такие прямые лежат в плоскости $β$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $b$.

Следовательно, искомая прямая $c$ должна быть линией пересечения плоскостей $α$ и $β$. В общем случае эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общую точку $M$. Эта прямая и будет решением.

Однако существует исключительный случай, когда это построение не приводит к решению. Рассмотрим его.

Через прямую $a$ можно провести единственную плоскость $γ_1$, параллельную прямой $b$. Аналогично, через прямую $b$ можно провести единственную плоскость $γ_2$, параллельную прямой $a$.

Выберем произвольную точку $M$, принадлежащую плоскости $γ_2$, но не прямой $b$. В этом случае плоскость $β$, определённая точкой $M$ и прямой $b$, совпадет с плоскостью $γ_2$.

Теперь мы ищем прямую $c$ как линию пересечения плоскостей $α$ (содержащей $M$ и $a$) и $β$ (которая есть $γ_2$).

По определению, прямая $a$ параллельна плоскости $γ_2$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $α$, а плоскость $α$ пересекает плоскость $γ_2$, то линия их пересечения (прямая $c$) будет параллельна прямой $a$ (согласно свойству параллельных прямой и плоскости).

Таким образом, построенная прямая $c$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, а значит, не пересекает ее. Следовательно, для любой точки $M$, лежащей в плоскости $γ_2$ (кроме точек на самой прямой $b$), провести требуемую прямую невозможно.

Так как в пространстве существуют такие точки (целая плоскость для каждой из данных прямых), то утверждение в общем виде неверно.

Ответ: Нет, неверно.