Номер 3, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

"Стереометрическое" расположение двух прямых. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 142.

Условие.

3. Даны три попарно скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и $c$, не параллельные одной плоскости. Докажите, что:

1) существует прямая, пересекающая прямые $a$, $b$ и параллельная прямой $c$;

2) такая прямая единственная.

Решение 1.

Решение 3.

1) Доказательство существования прямой, пересекающей прямые a, b и параллельной прямой c

Построим искомую прямую.

1. Через прямую $a$ и произвольную её точку проведём прямую $c'$, параллельную прямой $c$. Так как прямые $a$ и $c$ скрещиваются, то прямые $a$ и $c'$ пересекаются и не совпадают. Пересекающиеся прямые $a$ и $c'$ определяют единственную плоскость $\alpha$. По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и параллельна прямой $c$ (по признаку параллельности прямой и плоскости, так как $c' \subset \alpha$ и $c' \parallel c$).

2. Рассмотрим, как прямая $b$ расположена относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Докажем это от противного. Если бы прямая $b$ была параллельна плоскости $\alpha$, то все три прямые $a$ ($a \subset \alpha$), $b$ ($b \parallel \alpha$) и $c$ ($c \parallel \alpha$) были бы параллельны одной и той же плоскости $\alpha$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a, b$ и $c$ не параллельны одной плоскости.

3. Так как прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней (поскольку $a$ и $b$ скрещиваются, а $a \subset \alpha$), то прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной-единственной точке. Обозначим эту точку $B$. Таким образом, $B = b \cap \alpha$.

4. Проведём через точку $B$ прямую $d$, параллельную прямой $c$. Докажем, что $d$ — искомая прямая.

• По построению, прямая $d$ параллельна прямой $c$.
• По построению, прямая $d$ проходит через точку $B$, а точка $B$ принадлежит прямой $b$. Следовательно, прямая $d$ пересекает прямую $b$.
• Прямая $d$ проходит через точку $B \in \alpha$ и параллельна прямой $c$, которой параллельна плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая $d$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).
• Прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$. Прямые $a$ и $d$ не параллельны, так как если бы $a \parallel d$, то из $d \parallel c$ следовало бы, что $a \parallel c$, что противоречит условию скрещивающихся прямых $a$ и $c$.
• Поскольку прямые $a$ и $d$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не параллельны, они должны пересекаться. Обозначим точку их пересечения $A$.

Таким образом, мы построили прямую $d$, которая пересекает прямые $a$ и $b$ и параллельна прямой $c$.

Ответ: Существование такой прямой доказано.

2) Доказательство единственности такой прямой

Докажем, что построенная прямая единственна.

1. Предположим, что существует прямая $d$, удовлетворяющая условиям задачи. Это значит, что $d$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $A$, прямую $b$ в некоторой точке $B$, и при этом $d \parallel c$.

2. Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $c$. Как было показано в пункте 1, такая плоскость существует и единственна.

3. Поскольку прямая $d$ пересекает прямую $a$, она имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $A$ ($A = d \cap a, a \subset \alpha \implies A \in \alpha$).

4. По условию, прямая $d$ параллельна прямой $c$, а плоскость $\alpha$ по построению также параллельна прямой $c$. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. В нашем случае прямая $d$ имеет общую точку $A$ с плоскостью $\alpha$ и параллельна прямой $c' \subset \alpha$ (где $c' \parallel c$). Следовательно, прямая $d$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).

5. Прямая $d$ пересекает прямую $b$ в точке $B$. Так как $d \subset \alpha$, то и точка $B$ должна принадлежать плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Как мы установили в доказательстве существования, прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$ и пересекает её в единственной точке. Следовательно, точка $B$ определяется однозначно как $B = b \cap \alpha$.

7. Получается, что любая прямая $d$, удовлетворяющая условиям задачи, должна проходить через эту единственную точку $B$ и быть параллельной прямой $c$.

8. Согласно аксиоме стереометрии, через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Это означает, что прямая $d$, проходящая через однозначно определенную точку $B$ и параллельная прямой $c$, является единственной.

Ответ: Единственность такой прямой доказана.