Номер 1, страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

"Стереометрическое" расположение двух прямых. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 1, страница 142.

Условие.

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC_1$ и $A_1B$.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $A_1B$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся координатно-векторным методом. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

1. Введение системы координат и определение координат вершин

Поместим вершину $A$ куба в начало координат. Направим оси координат вдоль рёбер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной 1. Тогда координаты интересующих нас вершин будут следующими:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 0; 0)$
$A_1(0; 0; 1)$
$C_1(1; 1; 1)$

2. Нахождение координат направляющих векторов прямых

Направляющим вектором прямой $AC_1$ является вектор $\vec{AC_1}$. Его координаты находятся как разность координат конца и начала:

$\vec{AC_1} = \{1-0; 1-0; 1-0\} = \{1; 1; 1\}$

Аналогично, для прямой $A_1B$ направляющим вектором будет вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = \{1-0; 0-0; 0-1\} = \{1; 0; -1\}$

3. Вычисление угла между векторами

Угол $\phi$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos\phi = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{A_1B}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 1 + 0 - 1 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми (их длины $|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ и $|\vec{A_1B}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$), то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.