Страница 142 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AC_1$ и $A_1B$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $A_1B$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся координатно-векторным методом. Этот метод позволяет свести геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

1. Введение системы координат и определение координат вершин

Поместим вершину $A$ куба в начало координат. Направим оси координат вдоль рёбер: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Для удобства вычислений примем длину ребра куба равной 1. Тогда координаты интересующих нас вершин будут следующими:
$A(0; 0; 0)$
$B(1; 0; 0)$
$A_1(0; 0; 1)$
$C_1(1; 1; 1)$

2. Нахождение координат направляющих векторов прямых

Направляющим вектором прямой $AC_1$ является вектор $\vec{AC_1}$. Его координаты находятся как разность координат конца и начала:

$\vec{AC_1} = \{1-0; 1-0; 1-0\} = \{1; 1; 1\}$

Аналогично, для прямой $A_1B$ направляющим вектором будет вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = \{1-0; 0-0; 0-1\} = \{1; 0; -1\}$

3. Вычисление угла между векторами

Угол $\phi$ между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Косинус этого угла вычисляется по формуле скалярного произведения:

$\cos\phi = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{A_1B}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{A_1B} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = 1 + 0 - 1 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми (их длины $|\vec{AC_1}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ и $|\vec{A_1B}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$), то векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2. Верно ли, что через каждую точку пространства можно провести прямую так, чтобы она пересекала две данные скрещивающиеся прямые?

Нет, это утверждение неверно.

Рассмотрим общий способ построения такой прямой, а затем покажем, в каком случае он не работает.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $M$, не принадлежащая ни одной из этих прямых.

Если искомая прямая $c$ существует, то она должна проходить через точку $M$ и пересекать прямую $a$. Все такие прямые лежат в одной плоскости $α$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $a$.

Аналогично, прямая $c$ должна проходить через точку $M$ и пересекать прямую $b$. Все такие прямые лежат в плоскости $β$, которая однозначно определяется точкой $M$ и прямой $b$.

Следовательно, искомая прямая $c$ должна быть линией пересечения плоскостей $α$ и $β$. В общем случае эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через их общую точку $M$. Эта прямая и будет решением.

Однако существует исключительный случай, когда это построение не приводит к решению. Рассмотрим его.

Через прямую $a$ можно провести единственную плоскость $γ_1$, параллельную прямой $b$. Аналогично, через прямую $b$ можно провести единственную плоскость $γ_2$, параллельную прямой $a$.

Выберем произвольную точку $M$, принадлежащую плоскости $γ_2$, но не прямой $b$. В этом случае плоскость $β$, определённая точкой $M$ и прямой $b$, совпадет с плоскостью $γ_2$.

Теперь мы ищем прямую $c$ как линию пересечения плоскостей $α$ (содержащей $M$ и $a$) и $β$ (которая есть $γ_2$).

По определению, прямая $a$ параллельна плоскости $γ_2$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $α$, а плоскость $α$ пересекает плоскость $γ_2$, то линия их пересечения (прямая $c$) будет параллельна прямой $a$ (согласно свойству параллельных прямой и плоскости).

Таким образом, построенная прямая $c$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, а значит, не пересекает ее. Следовательно, для любой точки $M$, лежащей в плоскости $γ_2$ (кроме точек на самой прямой $b$), провести требуемую прямую невозможно.

Так как в пространстве существуют такие точки (целая плоскость для каждой из данных прямых), то утверждение в общем виде неверно.

Ответ: Нет, неверно.

3. Даны три попарно скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и $c$, не параллельные одной плоскости. Докажите, что:

1) существует прямая, пересекающая прямые $a$, $b$ и параллельная прямой $c$;

2) такая прямая единственная.

1) Доказательство существования прямой, пересекающей прямые a, b и параллельной прямой c

Построим искомую прямую.

1. Через прямую $a$ и произвольную её точку проведём прямую $c'$, параллельную прямой $c$. Так как прямые $a$ и $c$ скрещиваются, то прямые $a$ и $c'$ пересекаются и не совпадают. Пересекающиеся прямые $a$ и $c'$ определяют единственную плоскость $\alpha$. По построению, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и параллельна прямой $c$ (по признаку параллельности прямой и плоскости, так как $c' \subset \alpha$ и $c' \parallel c$).

2. Рассмотрим, как прямая $b$ расположена относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ не может быть параллельна плоскости $\alpha$. Докажем это от противного. Если бы прямая $b$ была параллельна плоскости $\alpha$, то все три прямые $a$ ($a \subset \alpha$), $b$ ($b \parallel \alpha$) и $c$ ($c \parallel \alpha$) были бы параллельны одной и той же плоскости $\alpha$. Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a, b$ и $c$ не параллельны одной плоскости.

3. Так как прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней (поскольку $a$ и $b$ скрещиваются, а $a \subset \alpha$), то прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной-единственной точке. Обозначим эту точку $B$. Таким образом, $B = b \cap \alpha$.

4. Проведём через точку $B$ прямую $d$, параллельную прямой $c$. Докажем, что $d$ — искомая прямая.

• По построению, прямая $d$ параллельна прямой $c$.
• По построению, прямая $d$ проходит через точку $B$, а точка $B$ принадлежит прямой $b$. Следовательно, прямая $d$ пересекает прямую $b$.
• Прямая $d$ проходит через точку $B \in \alpha$ и параллельна прямой $c$, которой параллельна плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая $d$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).
• Прямая $a$ также лежит в плоскости $\alpha$. Прямые $a$ и $d$ не параллельны, так как если бы $a \parallel d$, то из $d \parallel c$ следовало бы, что $a \parallel c$, что противоречит условию скрещивающихся прямых $a$ и $c$.
• Поскольку прямые $a$ и $d$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не параллельны, они должны пересекаться. Обозначим точку их пересечения $A$.

Таким образом, мы построили прямую $d$, которая пересекает прямые $a$ и $b$ и параллельна прямой $c$.

Ответ: Существование такой прямой доказано.

2) Доказательство единственности такой прямой

Докажем, что построенная прямая единственна.

1. Предположим, что существует прямая $d$, удовлетворяющая условиям задачи. Это значит, что $d$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $A$, прямую $b$ в некоторой точке $B$, и при этом $d \parallel c$.

2. Рассмотрим плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $c$. Как было показано в пункте 1, такая плоскость существует и единственна.

3. Поскольку прямая $d$ пересекает прямую $a$, она имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $A$ ($A = d \cap a, a \subset \alpha \implies A \in \alpha$).

4. По условию, прямая $d$ параллельна прямой $c$, а плоскость $\alpha$ по построению также параллельна прямой $c$. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. В нашем случае прямая $d$ имеет общую точку $A$ с плоскостью $\alpha$ и параллельна прямой $c' \subset \alpha$ (где $c' \parallel c$). Следовательно, прямая $d$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($d \subset \alpha$).

5. Прямая $d$ пересекает прямую $b$ в точке $B$. Так как $d \subset \alpha$, то и точка $B$ должна принадлежать плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

6. Таким образом, точка $B$ является точкой пересечения прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Как мы установили в доказательстве существования, прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$ и пересекает её в единственной точке. Следовательно, точка $B$ определяется однозначно как $B = b \cap \alpha$.

7. Получается, что любая прямая $d$, удовлетворяющая условиям задачи, должна проходить через эту единственную точку $B$ и быть параллельной прямой $c$.

8. Согласно аксиоме стереометрии, через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Это означает, что прямая $d$, проходящая через однозначно определенную точку $B$ и параллельная прямой $c$, является единственной.

Ответ: Единственность такой прямой доказана.

4. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Докажите, что существует четырёхугольная призма, три ребра которого лежат на данных прямых.

Пусть даны три попарно скрещивающиеся прямые $l_1, l_2, l_3$. Обозначим их направляющие векторы как $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ соответственно. По условию, эти прямые не параллельны одной плоскости, что означает, что их направляющие векторы не компланарны, то есть их смешанное произведение не равно нулю: $(\vec{v_1} \times \vec{v_2}) \cdot \vec{v_3} \neq 0$.

Мы докажем существование искомой четырехугольной призмы, построив ее. В нашей призме три ребра будут лежать на прямых $l_1, l_2, l_3$. Наиболее общая конфигурация трех попарно скрещивающихся ребер призмы — это одно боковое ребро и два ребра оснований (по одному на каждом). Назначим роли нашим прямым:

• Прямая $l_1$ будет содержать одно из боковых ребер призмы.
• Прямая $l_2$ будет содержать одно из ребер нижнего основания.
• Прямая $l_3$ будет содержать одно из ребер верхнего основания.

Доказательство проведем в несколько этапов.

1. Построение плоскостей оснований.

Боковые ребра любой призмы параллельны друг другу. Так как одно из них лежит на прямой $l_1$, все боковые ребра нашей призмы должны быть параллельны вектору $\vec{v_1}$.

Основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Обозначим плоскость нижнего основания как $\pi_1$, а верхнего — как $\pi_2$.

Поскольку ребро нижнего основания лежит на прямой $l_2$, вся прямая $l_2$ должна быть параллельна плоскости $\pi_1$. Аналогично, прямая $l_3$ должна быть параллельна плоскости $\pi_2$. Так как $\pi_1 \parallel \pi_2$, обе плоскости должны быть параллельны обеим прямым $l_2$ и $l_3$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскостям оснований должен быть перпендикулярен направляющим векторам прямых, параллельных этим плоскостям. Следовательно, $\vec{n} \perp \vec{v_2}$ и $\vec{n} \perp \vec{v_3}$. В качестве вектора нормали можно взять их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_2} \times \vec{v_3}$. Поскольку прямые $l_2$ и $l_3$ скрещиваются, их векторы $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$ неколлинеарны, поэтому $\vec{n} \neq \vec{0}$.

Боковые ребра призмы не могут быть параллельны плоскостям оснований. Направление боковых ребер задается вектором $\vec{v_1}$. Условие их непараллельности плоскостям оснований — это $\vec{v_1} \cdot \vec{n} \neq 0$. Проверим: $\vec{v_1} \cdot \vec{n} = \vec{v_1} \cdot (\vec{v_2} \times \vec{v_3})$. Это смешанное произведение векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$, которое не равно нулю по условию задачи. Таким образом, наша начальная расстановка ролей корректна.

Теперь определим точное положение плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$.

• Пусть $\pi_1$ — это единственная плоскость, содержащая прямую $l_2$ и параллельная прямой $l_3$.
• Пусть $\pi_2$ — это единственная плоскость, содержащая прямую $l_3$ и параллельная прямой $l_2$.

Эти плоскости параллельны друг другу (их общая нормаль — $\vec{n}$) и различны, так как $l_2$ и $l_3$ скрещиваются. Мы нашли плоскости оснований призмы.

2. Построение вершин и ребер.

Теперь построим вершины призмы. Обозначим вершины нижнего основания $A_1, A_2, A_3, A_4$, а верхнего — $B_1, B_2, B_3, B_4$, так что $A_iB_i$ — боковые ребра.

a) Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ скрещиваются, а $l_1$ и $l_3$ скрещиваются, существует единственная прямая $m$, параллельная $l_1$ и пересекающая как $l_2$, так и $l_3$. Найдем ее как пересечение двух плоскостей: плоскости, содержащей $l_2$ и параллельной $l_1$, и плоскости, содержащей $l_3$ и параллельной $l_1$. Обозначим точки пересечения: $A_3 = m \cap l_2$ и $B_3 = m \cap l_3$.

b) Отрезок $A_3B_3$ будет одним из боковых ребер нашей призмы. Вектор $\vec{T} = \vec{A_3B_3}$ задает смещение верхнего основания относительно нижнего. Этот вектор параллелен $\vec{v_1}$.

c) Боковое ребро $A_1B_1$ должно лежать на прямой $l_1$. Точка $A_1$ является вершиной нижнего основания и должна лежать в плоскости $\pi_1$. Точка $B_1$ — вершина верхнего основания и лежит в $\pi_2$. Так как $l_1$ не параллельна $\pi_1$, она пересекает ее в единственной точке. Определим вершину $A_1$ как точку пересечения прямой $l_1$ и плоскости $\pi_1$: $A_1 = l_1 \cap \pi_1$. Тогда вершина $B_1$ определяется смещением: $B_1 = A_1 + \vec{T}$. Так как $\vec{T}$ параллелен $l_1$, точка $B_1$ также будет лежать на прямой $l_1$. Таким образом, боковое ребро $A_1B_1$ лежит на прямой $l_1$.

d) Ребро нижнего основания должно лежать на прямой $l_2$. У нас уже есть вершина $A_3$ на прямой $l_2$. Выберем на $l_2$ любую другую точку $A_2$ ($A_2 \neq A_3$). Отрезок $A_2A_3$ будет ребром нижнего основания, лежащим на $l_2$. Вершина $B_2$ верхнего основания определяется как $B_2 = A_2 + \vec{T}$.

e) Ребро верхнего основания должно лежать на прямой $l_3$. У нас уже есть вершина $B_3$ на прямой $l_3$. Выберем на $l_3$ любую другую точку $B_4$ ($B_4 \neq B_3$). Отрезок $B_3B_4$ будет ребром верхнего основания, лежащим на $l_3$. Вершина $A_4$ нижнего основания определяется как $A_4 = B_4 - \vec{T}$.

3. Завершение построения и проверка.

Мы определили все восемь вершин призмы:

• Нижнее основание: $A_1, A_2, A_3, A_4$. Все они лежат в плоскости $\pi_1$. При общем положении прямых и произвольном выборе точек $A_2$ и $B_4$ эти четыре вершины образуют невырожденный четырехугольник.
• Верхнее основание: $B_1, B_2, B_3, B_4$. Каждая вершина $B_i$ получена из $A_i$ сдвигом на вектор $\vec{T}$. Следовательно, они лежат в плоскости $\pi_2$ и образуют четырехугольник, конгруэнтный нижнему основанию.

Построенная фигура является четырехугольной призмой. Проверим, лежат ли ее ребра на заданных прямых:

1. Боковое ребро $A_1B_1$ по построению лежит на прямой $l_1$.
2. Ребро нижнего основания $A_2A_3$ по построению лежит на прямой $l_2$.
3. Ребро верхнего основания $B_3B_4$ по построению лежит на прямой $l_3$.

Таким образом, мы построили четырехугольную призму, три ребра которой лежат на трех данных попарно скрещивающихся прямых. Существование такой призмы доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

5. Ребро $CD$ тетраэдра $DABC$ перпендикулярно основанию $ABC$. Точка $M$ – середина ребра $DB$, точка $N$ – середина ребра $AB$, точка $K$ делит ребро $CD$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $C$. Докажите, что прямая $CN$ равноудалена от прямых $AM$ и $BK$.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом координат. Так как по условию ребро $CD$ перпендикулярно основанию $ABC$, мы можем ввести прямоугольную систему координат следующим образом:

• Поместим вершину $C$ в начало координат $C(0, 0, 0)$.
• Направим ось $Oz$ вдоль ребра $CD$.
• Расположим плоскость основания $ABC$ в плоскости $Oxy$.

Зададим координаты вершин тетраэдра. Пусть длина ребра $CD$ равна $3h$ (это упростит вычисления для точки $K$). Без ограничения общности, разместим точку $A$ на оси $Ox$.

• $C(0, 0, 0)$
• $A(a, 0, 0)$
• $B(b, c, 0)$
• $D(0, 0, 3h)$

Теперь найдем координаты точек $M, N, K$ исходя из условий задачи:

• $N$ — середина ребра $AB$. Ее координаты: $N\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)$.
• $M$ — середина ребра $DB$. Ее координаты: $M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}, \frac{3h}{2}\right)$.
• $K$ делит ребро $CD$ в отношении $1:2$, считая от $C$. Значит, $CK = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}(3h) = h$. Координаты точки $K(0, 0, h)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $l_1$ и $l_2$, заданными точкой ($P_1$, $P_2$) и направляющим вектором ($\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$), используется формула:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$

где $\cdot$ — скалярное произведение, а $\times$ — векторное произведение. Величина в числителе — это модуль смешанного произведения векторов.

Найдем расстояние $d(CN, AM)$

Прямая $CN$ проходит через точку $C(0, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_{CN}} = \vec{CN} = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)$.

Прямая $AM$ проходит через точку $A(a, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_{AM}} = \vec{AM} = M - A = \left(\frac{b}{2}-a, \frac{c}{2}, \frac{3h}{2}\right)$.

В качестве вектора, соединяющего прямые, возьмем $\vec{CA} = A - C = (a, 0, 0)$.

1. Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_{CN}} \times \vec{v_{AM}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{a+b}{2} & \frac{c}{2} & 0 \\ \frac{b}{2}-a & \frac{c}{2} & \frac{3h}{2} \end{vmatrix} = \vec{i}\left(\frac{c}{2} \cdot \frac{3h}{2} - 0\right) - \vec{j}\left(\frac{a+b}{2} \cdot \frac{3h}{2} - 0\right) + \vec{k}\left(\frac{a+b}{2} \cdot \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \cdot \left(\frac{b}{2}-a\right)\right)$

$= \vec{i}\left(\frac{3ch}{4}\right) - \vec{j}\left(\frac{3h(a+b)}{4}\right) + \vec{k}\left(\frac{ac+bc-bc+2ac}{4}\right) = \left(\frac{3ch}{4}, -\frac{3h(a+b)}{4}, \frac{3ac}{4}\right)$

2. Найдем смешанное произведение:

$\vec{CA} \cdot (\vec{v_{CN}} \times \vec{v_{AM}}) = (a, 0, 0) \cdot \left(\frac{3ch}{4}, -\frac{3h(a+b)}{4}, \frac{3ac}{4}\right) = a \cdot \frac{3ch}{4} + 0 + 0 = \frac{3ach}{4}$

3. Найдем расстояние:

$d(CN, AM) = \frac{|\frac{3ach}{4}|}{|\left(\frac{3ch}{4}, -\frac{3h(a+b)}{4}, \frac{3ac}{4}\right)|} = \frac{\frac{3}{4}|ach|}{\frac{3}{4}\sqrt{(ch)^2 + (-h(a+b))^2 + (ac)^2}} = \frac{|ach|}{\sqrt{c^2h^2 + h^2(a+b)^2 + a^2c^2}}$

Ответ: $d(CN, AM) = \frac{|ach|}{\sqrt{c^2h^2 + h^2(a+b)^2 + a^2c^2}}$

Найдем расстояние $d(CN, BK)$

Прямая $CN$ проходит через точку $C(0, 0, 0)$ с вектором $\vec{v_{CN}} = \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}, 0\right)$.

Прямая $BK$ проходит через точку $B(b, c, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_{BK}} = \vec{BK} = K - B = (-b, -c, h)$.

В качестве вектора, соединяющего прямые, возьмем $\vec{CB} = B - C = (b, c, 0)$.

1. Найдем векторное произведение направляющих векторов:

$\vec{v_{CN}} \times \vec{v_{BK}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{a+b}{2} & \frac{c}{2} & 0 \\ -b & -c & h \end{vmatrix} = \vec{i}\left(\frac{c}{2} \cdot h - 0\right) - \vec{j}\left(\frac{a+b}{2} \cdot h - 0\right) + \vec{k}\left(\frac{a+b}{2} \cdot (-c) - \frac{c}{2} \cdot (-b)\right)$

$= \vec{i}\left(\frac{ch}{2}\right) - \vec{j}\left(\frac{h(a+b)}{2}\right) + \vec{k}\left(\frac{-ac-bc+bc}{2}\right) = \left(\frac{ch}{2}, -\frac{h(a+b)}{2}, -\frac{ac}{2}\right)$

2. Найдем смешанное произведение:

$\vec{CB} \cdot (\vec{v_{CN}} \times \vec{v_{BK}}) = (b, c, 0) \cdot \left(\frac{ch}{2}, -\frac{h(a+b)}{2}, -\frac{ac}{2}\right) = b \cdot \frac{ch}{2} + c \cdot \left(-\frac{h(a+b)}{2}\right) + 0$

$= \frac{bch}{2} - \frac{c(a+b)h}{2} = \frac{bch - ach - bch}{2} = -\frac{ach}{2}$

3. Найдем расстояние:

$d(CN, BK) = \frac{|-\frac{ach}{2}|}{|\left(\frac{ch}{2}, -\frac{h(a+b)}{2}, -\frac{ac}{2}\right)|} = \frac{\frac{1}{2}|ach|}{\frac{1}{2}\sqrt{(ch)^2 + (-h(a+b))^2 + (-ac)^2}} = \frac{|ach|}{\sqrt{c^2h^2 + h^2(a+b)^2 + a^2c^2}}$

Ответ: $d(CN, BK) = \frac{|ach|}{\sqrt{c^2h^2 + h^2(a+b)^2 + a^2c^2}}$

Сравнивая полученные выражения для расстояний $d(CN, AM)$ и $d(CN, BK)$, мы видим, что они полностью совпадают.

$d(CN, AM) = d(CN, BK) = \frac{|ach|}{\sqrt{c^2h^2 + h^2(a+b)^2 + a^2c^2}}$

Следовательно, прямая $CN$ равноудалена от прямых $AM$ и $BK$.

Ответ: Утверждение доказано.

6. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $AC_1$ и $A_1B$.

Для решения задачи воспользуемся векторно-координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$ куба. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты (при длине ребра, равной $a$):

$A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $A_1(0, 0, a)$, $C_1(a, a, a)$.

Прямая $AC_1$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$ и $C_1(a, a, a)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{AC_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Прямая $A_1B$ проходит через точки $A_1(0, 0, a)$ и $B(a, 0, 0)$. Ее направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{A_1B} = (a-0, 0-0, 0-a) = (a, 0, -a)$.

Поскольку векторы $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ не коллинеарны и прямые не пересекаются, они являются скрещивающимися. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле, использующей смешанное произведение векторов:

$d = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$,

где $M_1$ — точка на первой прямой, $M_2$ — точка на второй прямой, $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ — их направляющие векторы.

Возьмем точку $M_1 = A(0, 0, 0)$ на прямой $AC_1$ и точку $M_2 = A_1(0, 0, a)$ на прямой $A_1B$. Тогда вектор $\vec{M_1M_2} = \vec{AA_1} = (0, 0, a)$.

Найдем векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$:

$\vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & a \\ a & 0 & -a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a(-a) - a \cdot 0) - \mathbf{j}(a(-a) - a \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) = -a^2\mathbf{i} + 2a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k} = (-a^2, 2a^2, -a^2)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (2a^2)^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{a^4 + 4a^4 + a^4} = \sqrt{6a^4} = a^2\sqrt{6}$.

Теперь вычислим смешанное произведение векторов $\vec{M_1M_2}$, $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ (скалярное произведение вектора $\vec{M_1M_2}$ на векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$):

$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (0, 0, a) \cdot (-a^2, 2a^2, -a^2) = 0 \cdot (-a^2) + 0 \cdot (2a^2) + a \cdot (-a^2) = -a^3$.

Подставляем найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-a^3|}{a^2\sqrt{6}} = \frac{a^3}{a^2\sqrt{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{a \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

7. В пирамиде $DABC$ все рёбра равны $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Поскольку в пирамиде $DABC$ все рёбра равны $a$, данная пирамида является правильным тетраэдром. Все её грани — равносторонние треугольники со стороной $a$. Прямые $AB$ и $CD$ являются скрещивающимися рёбрами этого тетраэдра.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим этот перпендикуляр.

1. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Рассмотрим отрезок $MN$ и докажем, что он является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle DAB$ и $\triangle CAB$. Они оба равносторонние со стороной $a$. Отрезки $DM$ и $CM$ являются медианами, проведёнными к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Следовательно, $DM \perp AB$ и $CM \perp AB$.

3. Так как прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($DM$ и $CM$) в плоскости $CDM$, то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости $CDM$. Поскольку отрезок $MN$ лежит в плоскости $CDM$, то $MN \perp AB$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDM$. Найдём длины его сторон. $CD = a$ по условию. $CM$ и $DM$ — высоты в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $CM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

5. Треугольник $\triangle CDM$ является равнобедренным с основанием $CD$. Отрезок $MN$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $N$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp CD$.

6. Мы доказали, что отрезок $MN$ перпендикулярен как прямой $AB$, так и прямой $CD$. Значит, длина отрезка $MN$ и есть искомое расстояние.

7. Найдём длину $MN$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CMN$ (угол $\angle MNC = 90^\circ$). Катет $CN$ равен половине длины ребра $CD$, то есть $CN = \frac{a}{2}$. Гипотенуза $CM$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора:

$MN^2 = CM^2 - CN^2$

$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

$MN = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$