Страница 135 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.34. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По условию, трапеция равнобокая, значит $AB = CD$. Меньшее основание $BC = a$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$, поэтому $\angle BAC = \angle CAD$. Так как основания трапеции параллельны, углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Отсюда следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC = a$. Поскольку трапеция равнобокая, то и $CD = AB = a$. Итак, мы установили, что три стороны трапеции равны $a$: $AB = BC = CD = a$.

По второму условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Пусть $\angle CAD = \alpha$. Тогда, так как $AC$ — биссектриса, полный острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$. В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle BAD = 2\alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:
$\angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ$
$\alpha + 2\alpha + 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 90^\circ$
$\alpha = 30^\circ$.

Следовательно, острые углы трапеции при большем основании равны $2\alpha = 60^\circ$. Теперь найдем длину большего основания $AD$ из прямоугольного треугольника $ACD$. В этом треугольнике нам известен катет $CD = a$ и противолежащий ему угол $\angle CAD = 30^\circ$.

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AD}$
$\sin(30^\circ) = \frac{a}{AD}$
$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD}$
$AD = 2a$.

Для нахождения площади трапеции необходима ее высота. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $CHD$ гипотенуза $CD = a$, а угол $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$. Высота $h = CH$ находится как катет, противолежащий углу $60^\circ$:

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDA) = a \cdot \sin(60^\circ) = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$. Подставляем все найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$.

14.35. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей – 42 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$.

По условию задачи дано:

$a = 15$ см

$d_1 + d_2 = 42$ см

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле через его диагонали:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Важным свойством ромба является то, что его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба ($a$).

Применим теорему Пифагора к одному из этих треугольников:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Упростим это соотношение:

$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = a^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим известное значение стороны $a = 15$ см:

$d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 15^2 = 4 \cdot 225 = 900$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $d_1 + d_2 = 42$

2) $d_1^2 + d_2^2 = 900$

Чтобы найти произведение $d_1 d_2$, которое необходимо для вычисления площади, возведем в квадрат первое уравнение системы:

$(d_1 + d_2)^2 = 42^2$

$d_1^2 + 2d_1 d_2 + d_2^2 = 1764$

Мы знаем из второго уравнения, что $d_1^2 + d_2^2 = 900$. Подставим это значение в полученное выражение:

$900 + 2d_1 d_2 = 1764$

Теперь решим это уравнение относительно $2d_1 d_2$:

$2d_1 d_2 = 1764 - 900$

$2d_1 d_2 = 864$

Для нахождения площади нам нужно значение $\frac{1}{2} d_1 d_2$. Мы можем найти его, разделив обе части последнего равенства на 4:

$S = \frac{2d_1 d_2}{4} = \frac{864}{4} = 216$

Таким образом, площадь ромба составляет 216 см².

Ответ: 216 см².