Страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.6. Плоскости правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $ABC$.

Пусть сторона правильных (равносторонних) треугольников $ABC$ и $ADC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CA = AD = DC = a$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $BD$ и плоскостью $(ABC)$. Для этого найдем проекцию прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$.

Точка $B$ уже лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому её проекция — это сама точка $B$.

Чтобы найти проекцию точки $D$ на плоскость $(ABC)$, нужно опустить из точки $D$ перпендикуляр на эту плоскость. Проведем в треугольниках $ABC$ и $ADC$ высоты к их общему основанию $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольники $ABC$ и $ADC$ равносторонние, их медианы $BM$ и $DM$ являются также и высотами. Таким образом, $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$.

По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Они пересекаются по прямой $AC$. Прямая $DM$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $DM \perp (ABC)$.

Таким образом, $DM$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, а точка $M$ — это проекция точки $D$ на плоскость $(ABC)$.

Следовательно, прямая $BM$ является проекцией прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$. Искомый угол — это угол между наклонной $BD$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle DBM$.

Рассмотрим треугольник $DBM$. Так как $DM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а прямая $BM$ лежит в этой плоскости, то $DM \perp BM$. Значит, треугольник $DBM$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $M$.

Найдем длины катетов этого треугольника. Катеты $BM$ и $DM$ являются высотами в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В прямоугольном треугольнике $DBM$ тангенс угла $\angle DBM$ равен отношению противолежащего катета $DM$ к прилежащему катету $BM$:
$\tan(\angle DBM) = \frac{DM}{BM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
$\angle DBM = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.

14.7. Равнобедренные прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 14.11). Найдите расстояние между точками $B$ и $D$.

Рис. 14.11

Пусть даны два равнобедренных прямоугольных треугольника $ABC$ и $ADC$ с общей гипотенузой $AC = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он равнобедренный и прямоугольный, а $AC$ — гипотенуза, то $\angle B = 90^\circ$ и катеты $AB = BC$. Проведем медиану $BM$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AC$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
$BM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Кроме того, в равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Он также является равнобедренным и прямоугольным с гипотенузой $AC$, поэтому $\angle D = 90^\circ$ и $AD = DC$. Проведем медиану $DM$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AC$.
$DM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Медиана $DM$ также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

3. По условию, плоскости треугольников $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Линией их пересечения является общая гипотенуза $AC$. Мы установили, что отрезки $BM$ и $DM$ проведены в этих плоскостях к одной точке $M$ на линии пересечения $AC$ и оба перпендикулярны ей ($BM \perp AC$ и $DM \perp AC$). Следовательно, угол между прямыми $BM$ и $DM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ADC)$.
Так как плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle BMD = 90^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $BMD$. Он является прямоугольным, так как $\angle BMD = 90^\circ$. Его катеты нам известны: $BM = 3$ см и $DM = 3$ см. Искомое расстояние между точками $B$ и $D$ является длиной гипотенузы $BD$ этого треугольника.
По теореме Пифагора:
$BD^2 = BM^2 + DM^2$
$BD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$BD = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

14.8. Отрезок $MB$ – перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$ (рис. 14.12). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ABM$ и $ABC$;

2) $ABM$ и $CBM$;

3) $AMB$ и $AMD$.

Рис. 14.12

1) ABM и ABC;
По условию задачи отрезок $MB$ перпендикулярен плоскости квадрата $ABCD$. Плоскость квадрата $ABCD$ – это плоскость $ABC$. Таким образом, $MB \perp (ABC)$.
Плоскость $ABM$ проходит через прямую $MB$.
Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Так как плоскость $ABM$ содержит прямую $MB$, которая перпендикулярна плоскости $ABC$, то $(ABM) \perp (ABC)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $ABC$ доказана.

2) ABM и CBM;
Поскольку $ABCD$ – квадрат, его смежные стороны перпендикулярны, то есть $BC \perp AB$.
По условию $MB \perp (ABC)$, а это значит, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Следовательно, $MB \perp BC$.
Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $MB$) в плоскости $ABM$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, $BC \perp (ABM)$.
Плоскость $CBM$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $ABM$.
По признаку перпендикулярности плоскостей, $(CBM) \perp (ABM)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $ABM$ и $CBM$ доказана.

3) AMB и AMD.
Так как $ABCD$ – квадрат, то $AD \perp AB$.
По условию $MB \perp (ABC)$, следовательно, $MB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $AD$. Таким образом, $MB \perp AD$.
Прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $MB$) в плоскости $AMB$.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $AMB$, то есть $AD \perp (AMB)$.
Плоскость $AMD$ проходит через прямую $AD$, которая перпендикулярна плоскости $AMB$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, $(AMD) \perp (AMB)$.
Ответ: перпендикулярность плоскостей $AMB$ и $AMD$ доказана.

14.9. Отрезок AD – перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, $\angle ACB = 90^\circ$ (рис. 14.13). Докажите, что плоскости BCD и ACD перпендикулярны.

Рис. 14.11

Рис. 14.12

Рис. 14.13

По условию задачи, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AD \perp BC$.

Также по условию $\angle ACB = 90^{\circ}$, что означает перпендикулярность прямых $BC$ и $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AC$, которые лежат в плоскости $ACD$ (они пересекаются в точке $A$).

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ACD$, что записывается как $BC \perp (ACD)$.

Плоскость $BCD$ проходит через прямую $BC$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $BCD$ перпендикулярна плоскости $ACD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

14.10. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, точка $M$ не принадлежит плоскости $ABC$ (рис. 14.14). Докажите, что если $MA = MC$ и $MB = MD$, то плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Рис. 14.14

Рис. 14.15

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию $MA = MC$, следовательно, треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Значит, $O$ – середина диагонали $AC$.

3. Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой противолежащей стороны $AC$ в треугольнике $AMC$, то есть $MO$ – медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AC$.

4. Аналогично рассмотрим треугольник $BMD$. По условию $MB = MD$, следовательно, треугольник $BMD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

5. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Таким образом, отрезок $MO$ является медианой в треугольнике $BMD$, проведенной к основанию $BD$.

6. В равнобедренном треугольнике $BMD$ медиана $MO$ является и высотой. Следовательно, $MO \perp BD$.

7. Мы установили, что прямая $MO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $BD$, которые лежат в плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$ (то есть $MO \perp (ABC)$).

8. Плоскость $BMD$ проходит через прямую $MO$ (так как точки $M$ и $O$ принадлежат этой плоскости), а прямая $MO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, плоскость $BMD$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14.11. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, отрезок $MO$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей ABC и BMD воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

По условию задачи, отрезок MO перпендикулярен плоскости ABC. Это означает, что прямая MO перпендикулярна плоскости ABC ($MO \perp (ABC)$).

Теперь докажем, что прямая MO лежит в плоскости BMD. Плоскость BMD определяется тремя точками B, M, и D. Точка M принадлежит этой плоскости по определению. Точка O является точкой пересечения диагоналей ромба, поэтому она лежит на диагонали BD. Так как прямая BD целиком лежит в плоскости BMD (поскольку точки B и D лежат в ней), то и точка O принадлежит этой плоскости.

Поскольку обе точки прямой MO (точки M и O) лежат в плоскости BMD, то и вся прямая MO лежит в плоскости BMD.

Таким образом, мы установили, что плоскость BMD проходит через прямую MO, и при этом прямая MO перпендикулярна плоскости ABC.

Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость BMD перпендикулярна плоскости ABC. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости ABC и BMD перпендикулярны, так как плоскость BMD содержит прямую MO, которая перпендикулярна плоскости ABC.