Номер 9, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 9, страница 132.

Условие.

14.9. Отрезок AD – перпендикуляр к плоскости треугольника ABC, $\angle ACB = 90^\circ$ (рис. 14.13). Докажите, что плоскости BCD и ACD перпендикулярны.

Рис. 14.11

Рис. 14.12

Рис. 14.13

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, отрезок $AD$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $ABC$, то $AD \perp BC$.

Также по условию $\angle ACB = 90^{\circ}$, что означает перпендикулярность прямых $BC$ и $AC$, то есть $BC \perp AC$.

Таким образом, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $AC$, которые лежат в плоскости $ACD$ (они пересекаются в точке $A$).

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ACD$, что записывается как $BC \perp (ACD)$.

Плоскость $BCD$ проходит через прямую $BC$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость $BCD$ перпендикулярна плоскости $ACD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.