Номер 11, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 11, страница 132.

Условие.

14.11. Диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$, отрезок $MO$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$. Докажите, что плоскости $ABC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Решение 1.

Решение 3.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей ABC и BMD воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

По условию задачи, отрезок MO перпендикулярен плоскости ABC. Это означает, что прямая MO перпендикулярна плоскости ABC ($MO \perp (ABC)$).

Теперь докажем, что прямая MO лежит в плоскости BMD. Плоскость BMD определяется тремя точками B, M, и D. Точка M принадлежит этой плоскости по определению. Точка O является точкой пересечения диагоналей ромба, поэтому она лежит на диагонали BD. Так как прямая BD целиком лежит в плоскости BMD (поскольку точки B и D лежат в ней), то и точка O принадлежит этой плоскости.

Поскольку обе точки прямой MO (точки M и O) лежат в плоскости BMD, то и вся прямая MO лежит в плоскости BMD.

Таким образом, мы установили, что плоскость BMD проходит через прямую MO, и при этом прямая MO перпендикулярна плоскости ABC.

Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость BMD перпендикулярна плоскости ABC. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости ABC и BMD перпендикулярны, так как плоскость BMD содержит прямую MO, которая перпендикулярна плоскости ABC.