Номер 7, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 7, страница 132.

Условие.

14.7. Равнобедренные прямоугольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общую гипотенузу $AC$, равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 14.11). Найдите расстояние между точками $B$ и $D$.

Рис. 14.11

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны два равнобедренных прямоугольных треугольника $ABC$ и $ADC$ с общей гипотенузой $AC = 6$ см.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как он равнобедренный и прямоугольный, а $AC$ — гипотенуза, то $\angle B = 90^\circ$ и катеты $AB = BC$. Проведем медиану $BM$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AC$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
$BM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Кроме того, в равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BM$, проведенная к основанию $AC$, является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Он также является равнобедренным и прямоугольным с гипотенузой $AC$, поэтому $\angle D = 90^\circ$ и $AD = DC$. Проведем медиану $DM$ из вершины прямого угла к гипотенузе $AC$.
$DM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.
Медиана $DM$ также является высотой, следовательно, $DM \perp AC$.

3. По условию, плоскости треугольников $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Линией их пересечения является общая гипотенуза $AC$. Мы установили, что отрезки $BM$ и $DM$ проведены в этих плоскостях к одной точке $M$ на линии пересечения $AC$ и оба перпендикулярны ей ($BM \perp AC$ и $DM \perp AC$). Следовательно, угол между прямыми $BM$ и $DM$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ADC)$.
Так как плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle BMD = 90^\circ$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $BMD$. Он является прямоугольным, так как $\angle BMD = 90^\circ$. Его катеты нам известны: $BM = 3$ см и $DM = 3$ см. Искомое расстояние между точками $B$ и $D$ является длиной гипотенузы $BD$ этого треугольника.
По теореме Пифагора:
$BD^2 = BM^2 + DM^2$
$BD^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$BD = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.