Номер 3, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 131.

Условие.

3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

Решение 1.

Решение 3.

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен $90^\circ$. Угол между двумя плоскостями — это величина двугранного угла между ними, которая измеряется его линейным углом. Если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, это обозначается как $\alpha \perp \beta$.

Основные свойства перпендикулярных плоскостей формулируются в виде следующих теорем:

Свойство 1 (Признак перпендикулярности двух плоскостей)

Теорема: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Иными словами, если плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, которая перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$), то из этого следует, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$). Это основной способ доказать перпендикулярность двух плоскостей.

Ответ: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Свойство 2

Теорема: Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Пусть дано, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$) и пересекаются по прямой $c$ ($\alpha \cap \beta = c$). Если в плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$ ($a \subset \alpha$), которая перпендикулярна линии пересечения $c$ ($a \perp c$), то прямая $a$ будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

Ответ: Прямая, проведенная в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей перпендикулярно к линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

Свойство 3

Теорема: Если из точки, принадлежащей одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, опустить перпендикуляр на вторую плоскость, то этот перпендикуляр будет целиком лежать в первой плоскости.

Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$). Если взять любую точку $A$ в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$) и провести из нее перпендикуляр $AH$ к плоскости $\beta$ ($AH \perp \beta$), то этот перпендикуляр $AH$ будет полностью содержаться в плоскости $\alpha$ ($AH \subset \alpha$). Это свойство является следствием Свойства 2.

Ответ: Перпендикуляр, опущенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей на другую плоскость, содержится в первой плоскости.