Номер 3, страница 131 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 3, страница 131.

Условие.

14.3. Верно ли утверждение:

1) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости $\alpha$, перпендикулярна плоскости $\beta$;

2) если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то плоскость $\alpha$ перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости $\beta$;

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

Решение 1.

Решение 3.

1) если плоскости α и β перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости α, перпендикулярна плоскости β;

Утверждение неверно. Рассмотрим две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть $l$ — линия их пересечения, то есть $l = \alpha \cap \beta$. Прямая $l$ лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$. По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Рассмотрим прямую $l$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Чтобы утверждение было верным, прямая $l$ должна быть перпендикулярна плоскости $\beta$. Но прямая $l$ не может быть перпендикулярна плоскости $\beta$, поскольку она сама лежит в этой плоскости. Более общий контрпример: возьмем любую прямую $a$ в плоскости $\alpha$, которая не перпендикулярна линии пересечения $l$. Например, прямую $a$, параллельную $l$. Такая прямая $a$ не будет перпендикулярна прямой $l$, а значит, не может быть перпендикулярна и всей плоскости $\beta$. Перпендикулярна плоскости $\beta$ будет лишь та прямая из плоскости $\alpha$, которая перпендикулярна линии пересечения $l$. Поскольку утверждение говорит о любой прямой, оно является ложным.

Ответ: неверно.

2) если плоскости α и β перпендикулярны, то плоскость α перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости β;

Утверждение неверно. Перпендикулярность плоскости и прямой означает, что данная прямая перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, утверждение можно переформулировать: если плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая, параллельная плоскости $\beta$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $l$. Рассмотрим прямую $b$, параллельную плоскости $\beta$. По определению, это значит, что в плоскости $\beta$ существует прямая $b'$, такая что $b \parallel b'$. В качестве прямой $b'$ выберем саму линию пересечения $l$, так как $l \subset \beta$. Теперь рассмотрим прямую $b$, параллельную прямой $l$ ($b \parallel l$), и не лежащую в плоскости $\alpha$. Так как $b \parallel l$ и $l \subset \beta$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\beta$. Теперь проверим, перпендикулярна ли эта прямая $b$ плоскости $\alpha$. Поскольку $l \subset \alpha$ и $b \parallel l$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Прямая, параллельная плоскости, не может быть ей перпендикулярна. Следовательно, мы нашли прямую $b$, которая параллельна плоскости $\beta$, но не перпендикулярна плоскости $\alpha$. Значит, утверждение ложно.

Ответ: неверно.

3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?

Утверждение неверно. Рассмотрим наглядный контрпример. Пусть плоскость $\gamma$ — это плоскость пола. Пусть плоскость $\alpha$ — это одна из стен комнаты. Стена перпендикулярна полу, следовательно, $\alpha \perp \gamma$. Пусть плоскость $\beta$ — это смежная (соседняя) стена комнаты. Она также перпендикулярна полу, следовательно, $\beta \perp \gamma$. Таким образом, мы имеем две плоскости, $\alpha$ и $\beta$, которые перпендикулярны третьей плоскости $\gamma$. Однако эти две плоскости (смежные стены) не параллельны друг другу — они пересекаются. Утверждение было бы верным, если бы плоскости $\alpha$ и $\beta$ были противоположными стенами комнаты, но оно должно выполняться во всех случаях, что не так. Более строгий пример: пусть дана плоскость $\gamma$ и прямая $m$, перпендикулярная плоскости $\gamma$. Любая плоскость, проходящая через прямую $m$, будет перпендикулярна плоскости $\gamma$. Можно провести через прямую $m$ бесконечно много различных плоскостей (как страницы раскрытой книги, стоящей на столе). Если мы возьмем две любые такие различные плоскости $\alpha$ и $\beta$, они обе будут перпендикулярны $\gamma$, но при этом будут пересекаться по прямой $m$, а не быть параллельными.

Ответ: неверно.