Номер 6, страница 132 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 6, страница 132.

Условие.

14.6. Плоскости правильных треугольников $ABC$ и $ADC$ перпендикулярны. Найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть сторона правильных (равносторонних) треугольников $ABC$ и $ADC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CA = AD = DC = a$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $BD$ и плоскостью $(ABC)$. Для этого найдем проекцию прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$.

Точка $B$ уже лежит в плоскости $(ABC)$, поэтому её проекция — это сама точка $B$.

Чтобы найти проекцию точки $D$ на плоскость $(ABC)$, нужно опустить из точки $D$ перпендикуляр на эту плоскость. Проведем в треугольниках $ABC$ и $ADC$ высоты к их общему основанию $AC$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Так как треугольники $ABC$ и $ADC$ равносторонние, их медианы $BM$ и $DM$ являются также и высотами. Таким образом, $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$.

По условию, плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны. Они пересекаются по прямой $AC$. Прямая $DM$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярна линии пересечения $AC$. Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, $DM \perp (ABC)$.

Таким образом, $DM$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на плоскость $(ABC)$, а точка $M$ — это проекция точки $D$ на плоскость $(ABC)$.

Следовательно, прямая $BM$ является проекцией прямой $BD$ на плоскость $(ABC)$. Искомый угол — это угол между наклонной $BD$ и её проекцией $BM$, то есть угол $\angle DBM$.

Рассмотрим треугольник $DBM$. Так как $DM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а прямая $BM$ лежит в этой плоскости, то $DM \perp BM$. Значит, треугольник $DBM$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $M$.

Найдем длины катетов этого треугольника. Катеты $BM$ и $DM$ являются высотами в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В прямоугольном треугольнике $DBM$ тангенс угла $\angle DBM$ равен отношению противолежащего катета $DM$ к прилежащему катету $BM$:
$\tan(\angle DBM) = \frac{DM}{BM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
$\angle DBM = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.