Номер 13, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 13, страница 133.

Условие.

14.13. Рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точки $E$ и $F$ – середины рёбер $AD$ и $BC$ (рис. 14.15). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ADF$ и $BCD$;

2) $ADF$ и $BCE$.

Рис. 14.15

Решение 1.

Решение 3.

Поскольку все рёбра тетраэдра $DABC$ равны, этот тетраэдр является правильным. Это означает, что все его грани являются равными равносторонними треугольниками.

1) ADF и BCD

Рассмотрим грань $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, а точка $F$ — середина стороны $BC$, то медиана $AF$ является также и высотой. Следовательно, $AF \perp BC$.

Аналогично, рассмотрим грань $BCD$. Так как $\triangle BCD$ — равносторонний, а точка $F$ — середина стороны $BC$, то медиана $DF$ является также и высотой. Следовательно, $DF \perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AF$ и $DF$, которые лежат в плоскости $ADF$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADF)$.

Плоскость $(BCD)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(ADF)$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, $(ADF) \perp (BCD)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ADF$ и $BCD$ перпендикулярны.

2) ADF и BCE

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $(ADF)$ и $(BCE)$ докажем, что прямая $AD$, лежащая в плоскости $(ADF)$, перпендикулярна плоскости $(BCE)$. Для этого необходимо показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $(BCE)$. В качестве таких прямых возьмём $BC$ и $CE$.

Докажем, что $AD \perp BC$. В пункте 1 мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADF)$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $(ADF)$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AD$. Следовательно, $AD \perp BC$.

Докажем, что $AD \perp CE$. Рассмотрим грань $ADC$. Так как $\triangle ADC$ — равносторонний, а точка $E$ — середина стороны $AD$, то медиана $CE$ является также и высотой. Следовательно, $CE \perp AD$.

Мы показали, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CE$, лежащим в плоскости $(BCE)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(BCE)$.

Плоскость $(ADF)$ проходит через прямую $AD$, которая перпендикулярна плоскости $(BCE)$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $(ADF)$ перпендикулярна плоскости $(BCE)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ADF$ и $BCE$ перпендикулярны.