Номер 15, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 15, страница 133.

Условие.

14.15. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $A$ до этой линии равно 9 см, $AB = 17 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. $AC$ и $BD$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на линию $l$, соответственно. Таким образом, точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$.
По условию задачи нам даны:
- Расстояние от точки $A$ до линии пересечения: $AC = 9$ см.
- Расстояние между точками $A$ и $B$: $AB = 17$ см.
- Расстояние между основаниями перпендикуляров: $CD = 12$ см.

Нужно найти расстояние от точки $B$ до линии пересечения, то есть длину отрезка $BD$.

1. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, и прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$ ($AC \perp l$), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

2. Так как $AC \perp \beta$, то прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $C$. Отрезок $CB$ соединяет точки $C$ и $B$, которые обе лежат в плоскости $\beta$, следовательно, $CB \subset \beta$. Отсюда следует, что $AC \perp CB$.

3. Треугольник $\triangle ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle ACB$ имеем:
$AB^2 = AC^2 + CB^2$
Подставим известные значения:
$17^2 = 9^2 + CB^2$
$289 = 81 + CB^2$
$CB^2 = 289 - 81 = 208$

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDB$. Этот треугольник полностью лежит в плоскости $\beta$. По условию, $BD$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $l$. Так как точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$, то отрезок $CD$ является частью этой прямой. Следовательно, $BD \perp CD$.

5. Это означает, что треугольник $\triangle CDB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle CDB = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора:
$CB^2 = CD^2 + BD^2$

6. Мы уже нашли, что $CB^2 = 208$, и по условию $CD = 12$. Подставим эти значения в уравнение:
$208 = 12^2 + BD^2$
$208 = 144 + BD^2$
$BD^2 = 208 - 144$
$BD^2 = 64$
$BD = \sqrt{64} = 8$ (см)

Расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей равно длине перпендикуляра $BD$.

Ответ: 8 см.