Номер 21, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 21, страница 133.

Условие.

14.21. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (то есть, $\alpha \parallel \beta$) и третья плоскость $\gamma$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ (то есть, $\gamma \perp \alpha$). Требуется доказать, что плоскость $\gamma$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\gamma \perp \beta$).

Доказательство проведём в несколько шагов:

1. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, если две плоскости перпендикулярны, то одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поскольку нам дано, что $\gamma \perp \alpha$, это означает, что в плоскости $\gamma$ существует прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем прямую $a$ со свойствами: $a \subset \gamma$ и $a \perp \alpha$.

2. Теперь рассмотрим связь между прямой $a$ и плоскостью $\beta$. Нам известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Существует теорема стереометрии, которая гласит: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Так как мы знаем, что $a \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, то из этой теоремы следует, что прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$, то есть $a \perp \beta$.

3. На последнем шаге мы используем признак перпендикулярности двух плоскостей. Этот признак утверждает, что если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Мы установили, что прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$) и эта же прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$). Следовательно, по этому признаку, плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\beta$.

Таким образом, мы доказали, что если плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, то плоскость $\gamma$ перпендикулярна и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.