Номер 25, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 25, страница 134.

Условие.

14.25. Точки $E$, $F$ и $M$ – середины соответственно рёбер $BC$, $B_1C_1$ и $C_1D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью $EFM$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости $ABC$.

3) Найдите площадь сечения, если $AD = 8$ см, $AA_1 = 12$ см, $AB = 6$ см.

Решение 1.

Решение 3.

1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью EFM.

1. Соединим точки $E$ и $F$, так как они лежат в одной плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезок $EF$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $BCC_1B_1$.
2. Соединим точки $F$ и $M$, так как они лежат в одной плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $FM$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $A_1B_1C_1D_1$.
3. Плоскости оснований $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Следовательно, секущая плоскость $EFM$ пересекает их по параллельным прямым. Это означает, что линия пересечения с плоскостью $ABCD$ должна быть параллельна линии $FM$.
4. Рассмотрим треугольник $B_1C_1D_1$. Так как $F$ – середина $B_1C_1$ и $M$ – середина $C_1D_1$, то отрезок $FM$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $FM \parallel B_1D_1$.
5. В прямоугольном параллелепипеде диагонали оснований параллельны, то есть $B_1D_1 \parallel BD$. Из этого следует, что $FM \parallel BD$.
6. Проведем в плоскости основания $ABCD$ через точку $E$ прямую, параллельную $BD$. Эта прямая пересечет ребро $CD$. Обозначим точку пересечения $K$. В треугольнике $BCD$ точка $E$ – середина стороны $BC$. Так как $EK \parallel BD$, то по теореме Фалеса точка $K$ является серединой стороны $CD$.
7. Соединим точки $M$ и $K$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $DCC_1D_1$. Отрезок $MK$ — линия пересечения секущей плоскости с гранью $DCC_1D_1$.
8. Соединив последовательно точки $E$, $F$, $M$ и $K$, получим четырехугольник $EFMK$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник $EFMK$, где K – середина ребра $CD$.

2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости ABC.

Плоскость сечения – это плоскость $(EFM)$, а плоскость $ABC$ – это плоскость нижнего основания $(ABCD)$.
По определению, $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – прямоугольный параллелепипед, следовательно, его боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. В частности, $CC_1 \perp (ABC)$.
Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$, которая является прямоугольником. Точка $E$ – середина $BC$, точка $F$ – середина $B_1C_1$. Следовательно, отрезок $EF$ параллелен боковым ребрам $BB_1$ и $CC_1$.
Так как $EF \parallel CC_1$ и $CC_1 \perp (ABC)$, то по свойству параллельных прямых (если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости), получаем $EF \perp (ABC)$.
Прямая $EF$ принадлежит плоскости сечения $(EFM)$.
По признаку перпендикулярности двух плоскостей (если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны), плоскость сечения $(EFM)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

3) Найдите площадь сечения, если AD = 8 см, AA₁ = 12 см, AB = 6 см.

Сечение представляет собой четырехугольник $EFMK$. Выясним его вид.
Мы знаем, что $E$ – середина $BC$ и $F$ – середина $B_1C_1$, следовательно, $EF \parallel CC_1$ и $EF = CC_1 = AA_1 = 12 \text{ см}$.
Аналогично, в грани $DCC_1D_1$, $K$ – середина $CD$ и $M$ – середина $C_1D_1$, следовательно, $MK \parallel CC_1$ и $MK = CC_1 = AA_1 = 12 \text{ см}$.
Так как $EF \parallel CC_1$ и $MK \parallel CC_1$, то $EF \parallel MK$. Также $EF=MK=12 \text{ см}$.
Поскольку в четырехугольнике $EFMK$ две противоположные стороны параллельны и равны, он является параллелограммом.
Найдем угол между смежными сторонами $EF$ и $FM$.
Как было доказано в пункте 2, прямая $EF$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Поскольку плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$, то $EF$ также перпендикулярна плоскости $(A_1B_1C_1)$.
Прямая $FM$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$.
Следовательно, $EF \perp FM$ по определению перпендикулярности прямой и плоскости.
Таким образом, параллелограмм $EFMK$ является прямоугольником.
Площадь прямоугольника $EFMK$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{EFMK} = EF \cdot FM$.
Длина стороны $EF$ нам известна: $EF = AA_1 = 12 \text{ см}$.
Найдем длину стороны $FM$. Рассмотрим прямоугольник верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. В нем $F$ – середина $B_1C_1$, а $M$ – середина $C_1D_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle FC_1M$ (угол $\angle FC_1M = 90^\circ$).
Катеты этого треугольника равны:
$C_1F = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \text{ см}$.
$C_1M = \frac{1}{2} C_1D_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см}$.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $FM$:
$FM^2 = C_1F^2 + C_1M^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$FM = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.
Теперь можем найти площадь сечения:
$S_{EFMK} = EF \cdot FM = 12 \cdot 5 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.