Номер 27, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 27, страница 134.

Условие.

14.27. Плоскости квадрата $ABCD$ и треугольника $AFB$ перпендикулярны, точка $O$ – центр квадрата $ABCD$. Найдите расстояние от точки $F$ до центра окружности, проходящей через точки $C$, $D$ и $O$, если $AB = 10$ см, $AF = BF = 15$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения задачи разобьем ее на несколько логических шагов. Сначала найдем ключевые размеры и определим пространственное расположение фигур, затем найдем центр искомой окружности и, наконец, вычислим требуемое расстояние.

1. Нахождение высоты треугольника AFB и анализ геометрии.

Треугольник $AFB$ является равнобедренным, поскольку по условию $AF = BF = 15$ см. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $FM \perp AB$.

Длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны квадрата: $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMF$ (угол $M$ — прямой). По теореме Пифагора найдем высоту $FM$:

$FM^2 = AF^2 - AM^2 = 15^2 - 5^2 = 225 - 25 = 200$.

Таким образом, $FM = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

По условию, плоскости $(AFB)$ и $(ABCD)$ перпендикулярны. Отрезок $FM$ лежит в плоскости $(AFB)$ и перпендикулярен линии их пересечения $AB$. Из этого следует, что отрезок $FM$ перпендикулярен всей плоскости квадрата $(ABCD)$.

2. Определение центра окружности, проходящей через точки C, D и O.

Пусть $P$ — центр окружности, проходящей через точки $C$, $D$ и $O$. Все эти точки лежат в плоскости квадрата $(ABCD)$, поэтому и центр $P$ также лежит в этой плоскости.

Найдем длины сторон треугольника $CDO$, чтобы определить его тип и найти центр описанной окружности.

• Сторона $CD$ является стороной квадрата, поэтому $CD = 10$ см.
• Точка $O$ — центр квадрата, следовательно, $OC$ и $OD$ равны половине длины диагонали квадрата. Найдем диагональ $AC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см. Тогда $OC = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Проверим, выполняется ли для треугольника $CDO$ теорема Пифагора:

$OC^2 + OD^2 = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 = 50 + 50 = 100$ см$^2$.

$CD^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

Поскольку $OC^2 + OD^2 = CD^2$, треугольник $CDO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона $CD$. Значит, точка $P$ — середина отрезка $CD$.

3. Вычисление расстояния от точки F до точки P.

Искомое расстояние — это длина отрезка $FP$. Рассмотрим треугольник $FMP$.

• Мы установили, что $FM \perp (ABCD)$.
• Отрезок $MP$ лежит в плоскости $(ABCD)$, так как точки $M$ и $P$ лежат в этой плоскости.
• Следовательно, $FM \perp MP$, и треугольник $FMP$ является прямоугольным с прямым углом $M$.

Найдем длину катета $MP$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $P$ — середина стороны $CD$. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон квадрата, параллелен двум другим сторонам и равен им по длине. Поэтому $MP = AD = BC = 10$ см.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $FP$ в прямоугольном треугольнике $FMP$ по теореме Пифагора:

$FP^2 = FM^2 + MP^2 = (10\sqrt{2})^2 + 10^2 = 200 + 100 = 300$.

$FP = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.