Номер 23, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 23, страница 134.

Условие.

14.23. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AD$ и перпендикулярной плоскости $A_1BC$.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим искомую секущую плоскость как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Проходить через прямую $AD$, то есть $AD \subset \alpha$.
2. Быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$, то есть $\alpha \perp (A_1BC)$.

Для построения плоскости $\alpha$ воспользуемся свойством перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, нам нужно найти прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$, и построить искомую плоскость $\alpha$ так, чтобы она содержала прямую $AD$ и была параллельна найденной перпендикулярной прямой.

1. Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $(A_1BC)$.

Рассмотрим прямую $AB_1$. Докажем, что $AB_1 \perp (A_1BC)$.

• Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости грани $ABB_1A_1$, так как $BC \perp AB$ (стороны квадрата) и $BC \perp BB_1$ (ребро куба перпендикулярно основанию). Поскольку $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, следовательно, $BC \perp AB_1$.
• Прямые $AB_1$ и $A_1B$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AB_1 \perp A_1B$.

Таким образом, прямая $AB_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $A_1B$) в плоскости $(A_1BC)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1BC)$.

2. Построение секущей плоскости $\alpha$.

Искомая плоскость $\alpha$ должна проходить через прямую $AD$ и быть перпендикулярной плоскости $(A_1BC)$. Это означает, что плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AD$ и быть параллельной прямой $AB_1$ (так как $AB_1 \perp (A_1BC)$).

Поскольку прямые $AD$ и $AB_1$ пересекаются в точке $A$, они однозначно задают плоскость. Эта плоскость и будет искомой плоскостью $\alpha$. Таким образом, $\alpha$ – это плоскость $(ADB_1)$.

3. Построение сечения куба плоскостью $(ADB_1)$.

• Плоскость сечения проходит через точки $A$, $D$ и $B_1$.
• Отрезок $AD$ является ребром куба и принадлежит сечению.
• Соединим точки $A$ и $B_1$. Отрезок $AB_1$ – диагональ грани $ABB_1A_1$ и также принадлежит сечению.
• Плоскость сечения $(ADB_1)$ пересекает параллельные плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. По свойству, линии пересечения должны быть параллельны. Прямая $AD$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $BCC_1B_1$ должна быть параллельна $AD$ и проходить через точку $B_1$. Такой прямой является $B_1C_1$. Следовательно, отрезок $B_1C_1$ принадлежит сечению.
• Соединим оставшиеся точки $D$ и $C_1$. Отрезок $DC_1$ – диагональ грани $CDD_1C_1$.

В результате получаем четырехугольник $ADC_1B_1$. Проверим, что это плоская фигура. Вектор $\vec{AD}$ параллелен вектору $\vec{B_1C_1}$ и их длины равны (как ребра куба). Следовательно, $ADC_1B_1$ – параллелограмм. Поскольку все его вершины лежат в построенной плоскости $(ADB_1)$, он является искомым сечением.

Более того, ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, а значит, и прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Так как $ADC_1B_1$ – параллелограмм с прямым углом $\angle DAB_1$, то он является прямоугольником.

Ответ: Искомое сечение – прямоугольник $ADC_1B_1$.