Номер 29, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 134.

Условие.

14.29. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $ABC$ и $ADC$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками $B$ и $D$, если $AB = 30$ см, $BC = 40$ см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 30$ см и $BC = 40$ см. Прямоугольник перегнули по диагонали $AC$ так, что плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ стали перпендикулярны. Необходимо найти расстояние между точками $B$ и $D$ в новом положении.

1. Нахождение длины диагонали AC.
Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как $ABCD$ — прямоугольник. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$
$AC = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Нахождение высот треугольников ABC и ADC, опущенных на диагональ AC.
Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к гипотенузе $AC$. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.
С другой стороны, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.
Приравняв выражения для площади, получим:
$\frac{1}{2} \cdot 50 \cdot BH = 600$
$25 \cdot BH = 600$
$BH = \frac{600}{25} = 24$ см.
Аналогично, в треугольнике $ADC$ проведем высоту $DK$ к гипотенузе $AC$. Так как треугольники $ABC$ и $CDA$ равны (по трем сторонам или как части прямоугольника), то их высоты, проведенные к соответствующим сторонам, также равны:
$DK = BH = 24$ см.

3. Нахождение расстояния между основаниями высот H и K на диагонали AC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора:
$AH^2 = AB^2 - BH^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$
$AH = \sqrt{324} = 18$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADK$. Учитывая, что $AD = BC = 40$ см, по теореме Пифагора:
$AK^2 = AD^2 - DK^2 = 40^2 - 24^2 = 1600 - 576 = 1024$
$AK = \sqrt{1024} = 32$ см.
Точки $H$ и $K$ лежат на отрезке $AC$. Расстояние между ними равно:
$HK = |AK - AH| = |32 - 18| = 14$ см.

4. Вычисление расстояния между точками B и D.
После сгибания плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ стали перпендикулярны. Линия их пересечения — $AC$.
Отрезок $BH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярен $AC$.
Отрезок $DK$ лежит в плоскости $(ADC)$ и перпендикулярен $AC$.
Поскольку плоскости $(ABC)$ и $(ADC)$ перпендикулярны, а отрезки $BH$ и $DK$ перпендикулярны линии их пересечения $AC$, то угол между $BH$ и $DK$ равен $90^\circ$. Для нахождения расстояния $BD$ рассмотрим пространственную ломаную $BHKD$. Расстояние $BD$ можно найти как диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны $BH$, $HK$ и $DK$, так как векторы $\vec{HB}$, $\vec{HK}$ и $\vec{KD}$ попарно перпендикулярны. Тогда квадрат расстояния $BD$ равен сумме квадратов длин этих отрезков:
$BD^2 = BH^2 + HK^2 + DK^2$
$BD^2 = 24^2 + 14^2 + 24^2$
$BD^2 = 576 + 196 + 576 = 1348$
$BD = \sqrt{1348} = \sqrt{4 \cdot 337} = 2\sqrt{337}$ см.

Ответ: $2\sqrt{337}$ см.