Номер 22, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 14. Перпендикулярные плоскости. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 22, страница 133.

Условие.

14.22. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AA_1$ и перпендикулярной плоскости $BDD_1$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть искомая плоскость сечения обозначается как $\alpha$. Согласно условию задачи, эта плоскость должна удовлетворять двум требованиям:1. Проходить через прямую $AA_1$.2. Быть перпендикулярной плоскости $BDD_1$.

Для построения сечения воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Наша задача — найти прямую, которая перпендикулярна плоскости $BDD_1$ и проходит через точку, принадлежащую прямой $AA_1$ (например, точку $A$), чтобы затем провести через эту прямую и прямую $AA_1$ искомую плоскость.

Рассмотрим диагональ основания $AC$.

• Так как $ABCD$ — это квадрат (основание куба), его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
• Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ по определению куба. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$. Таким образом, $DD_1 \perp AC$.

Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$), лежащим в плоскости $BDD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1$, то есть $AC \perp (BDD_1)$.

Итак, мы нашли прямую $AC$, которая проходит через точку $A$ прямой $AA_1$ и перпендикулярна плоскости $BDD_1$. Искомая плоскость сечения $\alpha$ должна проходить через прямую $AA_1$ и быть перпендикулярной плоскости $BDD_1$. Это условие выполняется, если плоскость $\alpha$ содержит прямую $AC$.

Таким образом, искомая плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися в точке $A$ прямыми: $AA_1$ и $AC$. Эти две прямые однозначно задают плоскость. Эта плоскость также содержит ребро $CC_1$ (так как $CC_1 \parallel AA_1$) и диагональ $A_1C_1$ (так как $A_1C_1 \parallel AC$). Следовательно, искомой плоскостью является диагональная плоскость $ACC_1A_1$.

Сечением куба данной плоскостью является четырёхугольник $ACC_1A_1$. Поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то $AA_1 \perp AC$. Это означает, что $ACC_1A_1$ — прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $ACC_1A_1$.