Страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

14.12. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ и $BC$ и перпендикулярной плоскости $ABC$.

Решение:

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Искомое сечение — это плоскость $\alpha$, которая проходит через точки $M$ и $N$ и перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

1. Точки $M$ и $N$ принадлежат как секущей плоскости $\alpha$, так и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения этих двух плоскостей. Отрезок $MN$ — это след сечения на грани $ABCD$.

2. По условию, секущая плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. В прямоугольном параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, например, $BB_1 \perp (ABC)$.

Если плоскость ($\alpha$) перпендикулярна другой плоскости ($(ABC)$), то она проходит через прямую, перпендикулярную этой плоскости, либо параллельна такой прямой. Следовательно, плоскость $\alpha$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда.

3. Проведём через точку $M$ прямую, параллельную ребру $BB_1$. Эта прямая лежит в грани $ABB_1A_1$. Пусть она пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Так как $M$ — середина $AB$ и $MP \parallel BB_1$, то по теореме Фалеса точка $P$ — середина ребра $A_1B_1$. Отрезок $MP$ — это след сечения на грани $ABB_1A_1$.

4. Аналогично, проведём через точку $N$ прямую, параллельную ребру $CC_1$ (или $BB_1$). Эта прямая лежит в грани $BCC_1B_1$. Пусть она пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $Q$. Так как $N$ — середина $BC$ и $NQ \parallel CC_1$, то точка $Q$ — середина ребра $B_1C_1$. Отрезок $NQ$ — это след сечения на грани $BCC_1B_1$.

5. Соединим точки $P$ и $Q$, лежащие в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Отрезок $PQ$ является следом сечения на этой грани.

Таким образом, искомое сечение — это четырёхугольник $MNQP$.

Докажем, что $MNQP$ — прямоугольник.

• В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, следовательно, $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
• В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $PQ$ является средней линией, следовательно, $PQ \parallel A_1C_1$ и $PQ = \frac{1}{2}A_1C_1$.
• Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $AC \parallel A_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. Отсюда следует, что $MN \parallel PQ$ и $MN = PQ$. Значит, $MNQP$ — параллелограмм.
• По построению $MP \parallel BB_1$. Так как параллелепипед прямоугольный, $BB_1 \perp (ABC)$, а значит $BB_1 \perp MN$, так как $MN \subset (ABC)$. Поскольку $MP \parallel BB_1$, то и $MP \perp MN$.
• Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Следовательно, искомое сечение — это прямоугольник $MNQP$.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $MNQP$, где $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BC$ соответственно, а $P$ и $Q$ — середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно.

14.13. Рёбра тетраэдра $DABC$ равны, точки $E$ и $F$ – середины рёбер $AD$ и $BC$ (рис. 14.15). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) $ADF$ и $BCD$;

2) $ADF$ и $BCE$.

Рис. 14.15

Поскольку все рёбра тетраэдра $DABC$ равны, этот тетраэдр является правильным. Это означает, что все его грани являются равными равносторонними треугольниками.

1) ADF и BCD

Рассмотрим грань $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, а точка $F$ — середина стороны $BC$, то медиана $AF$ является также и высотой. Следовательно, $AF \perp BC$.

Аналогично, рассмотрим грань $BCD$. Так как $\triangle BCD$ — равносторонний, а точка $F$ — середина стороны $BC$, то медиана $DF$ является также и высотой. Следовательно, $DF \perp BC$.

Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AF$ и $DF$, которые лежат в плоскости $ADF$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADF)$.

Плоскость $(BCD)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(ADF)$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Следовательно, $(ADF) \perp (BCD)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ADF$ и $BCD$ перпендикулярны.

2) ADF и BCE

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $(ADF)$ и $(BCE)$ докажем, что прямая $AD$, лежащая в плоскости $(ADF)$, перпендикулярна плоскости $(BCE)$. Для этого необходимо показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $(BCE)$. В качестве таких прямых возьмём $BC$ и $CE$.

Докажем, что $AD \perp BC$. В пункте 1 мы установили, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADF)$. Так как прямая $AD$ лежит в плоскости $(ADF)$, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AD$. Следовательно, $AD \perp BC$.

Докажем, что $AD \perp CE$. Рассмотрим грань $ADC$. Так как $\triangle ADC$ — равносторонний, а точка $E$ — середина стороны $AD$, то медиана $CE$ является также и высотой. Следовательно, $CE \perp AD$.

Мы показали, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CE$, лежащим в плоскости $(BCE)$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(BCE)$.

Плоскость $(ADF)$ проходит через прямую $AD$, которая перпендикулярна плоскости $(BCE)$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость $(ADF)$ перпендикулярна плоскости $(BCE)$.

Ответ: Доказано, что плоскости $ADF$ и $BCE$ перпендикулярны.

14.14. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояние от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 15 см и 16 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведённых из концов отрезка к линии пересечения данных плоскостей, равно 12 см. Найдите данный отрезок.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — две данные перпендикулярные плоскости, а $l$ — линия их пересечения.Пусть $AB$ — данный отрезок, такой что точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ — в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).

По условию, расстояние от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равно 15 см и 16 см. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

Пусть $A_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $l$. Тогда $AA_1 \perp l$, и длина отрезка $AA_1$ равна расстоянию от точки $A$ до прямой $l$. Пусть $|AA_1| = 15$ см. Так как $A \in \alpha$ и $A_1 \in l \subset \alpha$, то отрезок $AA_1$ полностью лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогично, пусть $B_1$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $l$. Тогда $BB_1 \perp l$, и $|BB_1| = 16$ см. Отрезок $BB_1$ полностью лежит в плоскости $\beta$.

Расстояние между основаниями этих перпендикуляров, точками $A_1$ и $B_1$ на прямой $l$, равно 12 см. Таким образом, $|A_1B_1| = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $A_1B_1B$. Он лежит в плоскости $\beta$. Так как $BB_1 \perp l$ и отрезок $A_1B_1$ лежит на прямой $l$, то угол $\angle BB_1A_1$ является прямым. Следовательно, треугольник $A_1B_1B$ — прямоугольный.По теореме Пифагора найдем гипотенузу $A_1B$:$|A_1B|^2 = |A_1B_1|^2 + |BB_1|^2$$|A_1B|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$$|A_1B| = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AA_1B$.Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то прямая $AA_1$, лежащая в плоскости $\alpha$ и перпендикулярная линии пересечения $l$, будет перпендикулярна всей плоскости $\beta$.Поскольку $AA_1 \perp \beta$, то $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $A_1$. Прямая $A_1B$ лежит в плоскости $\beta$ и проходит через точку $A_1$. Следовательно, $AA_1 \perp A_1B$.Таким образом, треугольник $AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$, которая и является искомым отрезком:$|AB|^2 = |AA_1|^2 + |A_1B|^2$$|AB|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$$|AB| = \sqrt{625} = 25$ см.

Задачу можно также решить, заметив, что искомый отрезок $AB$ является пространственной диагональю прямоугольного параллелепипеда с измерениями, равными 12 см, 15 см и 16 см. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов его измерений:$|AB|^2 = 12^2 + 15^2 + 16^2 = 144 + 225 + 256 = 625$$|AB| = 25$ см.

Ответ: 25 см.

14.15. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $A$ до этой линии равно 9 см, $AB = 17 \text{ см}$, $CD = 12 \text{ см}$.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$. $AC$ и $BD$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $B$ на линию $l$, соответственно. Таким образом, точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$.
По условию задачи нам даны:
- Расстояние от точки $A$ до линии пересечения: $AC = 9$ см.
- Расстояние между точками $A$ и $B$: $AB = 17$ см.
- Расстояние между основаниями перпендикуляров: $CD = 12$ см.

Нужно найти расстояние от точки $B$ до линии пересечения, то есть длину отрезка $BD$.

1. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, и прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$ ($AC \perp l$), то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $\beta$.

2. Так как $AC \perp \beta$, то прямая $AC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$ и проходящей через точку $C$. Отрезок $CB$ соединяет точки $C$ и $B$, которые обе лежат в плоскости $\beta$, следовательно, $CB \subset \beta$. Отсюда следует, что $AC \perp CB$.

3. Треугольник $\triangle ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle ACB$ имеем:
$AB^2 = AC^2 + CB^2$
Подставим известные значения:
$17^2 = 9^2 + CB^2$
$289 = 81 + CB^2$
$CB^2 = 289 - 81 = 208$

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CDB$. Этот треугольник полностью лежит в плоскости $\beta$. По условию, $BD$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $l$. Так как точки $C$ и $D$ лежат на прямой $l$, то отрезок $CD$ является частью этой прямой. Следовательно, $BD \perp CD$.

5. Это означает, что треугольник $\triangle CDB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$ ($\angle CDB = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора:
$CB^2 = CD^2 + BD^2$

6. Мы уже нашли, что $CB^2 = 208$, и по условию $CD = 12$. Подставим эти значения в уравнение:
$208 = 12^2 + BD^2$
$208 = 144 + BD^2$
$BD^2 = 208 - 144$
$BD^2 = 64$
$BD = \sqrt{64} = 8$ (см)

Расстояние от точки $B$ до линии пересечения плоскостей равно длине перпендикуляра $BD$.

Ответ: 8 см.

14.16. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны. Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, точка $B$ – в плоскости $\beta$. Точка $A$ удалена от линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ на 5 см, а точка $B$ – на $5\sqrt{2}$ см. Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$, если угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ равен $30^{\circ}$.

Пусть $l$ — линия пересечения перпендикулярных плоскостей $\alpha$ и $\beta$.Из точки $A$, лежащей в плоскости $\alpha$, опустим перпендикуляр $AC$ на линию $l$. Длина этого перпендикуляра есть расстояние от точки $A$ до линии пересечения, следовательно, $AC = 5$ см. Так как $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии пересечения $l$, то $AC$ перпендикулярна плоскости $\beta$.Из точки $B$, лежащей в плоскости $\beta$, опустим перпендикуляр $BD$ на линию $l$. Длина этого перпендикуляра есть расстояние от точки $B$ до линии пересечения, следовательно, $BD = 5\sqrt{2}$ см. Так как $BD$ лежит в плоскости $\beta$ и перпендикулярна линии пересечения $l$, то $BD$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.Проекцией прямой $AB$ на плоскость $\beta$ является прямая $BC$. Следовательно, угол между прямой $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол $\angle ABC$. По условию, $\angle ABC = 30^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Он является прямоугольным, так как $AC \perp \beta$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$, что означает $\angle ACB = 90^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$Подставим известные значения:$\sin(30^\circ) = \frac{5}{AB}$$\frac{1}{2} = \frac{5}{AB}$Отсюда находим длину отрезка $AB$:$AB = 10$ см.

Теперь найдём угол между прямой $AB$ и плоскостью $\alpha$. Обозначим этот угол как $\phi$.Проекцией прямой $AB$ на плоскость $\alpha$ является прямая $AD$. Следовательно, искомый угол $\phi$ — это угол $\angle BAD$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он является прямоугольным, так как $BD \perp \alpha$, а прямая $AD$ лежит в плоскости $\alpha$, что означает $\angle ADB = 90^\circ$.Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\phi) = \sin(\angle BAD) = \frac{BD}{AB}$Подставим известные значения $BD = 5\sqrt{2}$ см и $AB = 10$ см:$\sin(\phi) = \frac{5\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{2}$Отсюда находим угол $\phi$:$\phi = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

14.17. Концы отрезка длиной 6 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 3 см и $3\sqrt{3}$ см. Найдите углы, которые образует этот отрезок с данными плоскостями.

Пусть даны две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть их линия пересечения — прямая $c$. Обозначим отрезок как $AB$, где точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ — плоскости $\beta$ ($B \in \beta$). Длина отрезка $AB = 6$ см.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $AC$ — перпендикуляр из точки $A$ на прямую $c$ ($C \in c$). Тогда по условию $AC = 3$ см. Так как $A \in \alpha$ и $c \subset \alpha$, то и отрезок $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Пусть $BD$ — перпендикуляр из точки $B$ на прямую $c$ ($D \in c$). Тогда по условию $BD = 3\sqrt{3}$ см. Так как $B \in \beta$ и $c \subset \beta$, то и отрезок $BD$ лежит в плоскости $\beta$.

Рассмотрим пространственную фигуру, образованную точками $A, B, C, D$. Отрезки $AC$, $BD$ и $CD$ (расстояние между основаниями перпендикуляров на прямой $c$) являются взаимно перпендикулярными. Связь между длиной отрезка $AB$ и длинами этих трех отрезков выражается формулой, аналогичной теореме Пифагора в пространстве:

$AB^2 = CD^2 + AC^2 + BD^2$

Подставим известные значения в эту формулу:

$6^2 = CD^2 + 3^2 + (3\sqrt{3})^2$

$36 = CD^2 + 9 + 27$

$36 = CD^2 + 36$

Отсюда следует, что $CD^2 = 0$, а значит, расстояние $CD = 0$. Это означает, что точки $C$ и $D$ совпадают. Таким образом, перпендикуляры из точек $A$ и $B$ к линии пересечения $c$ опущены в одну и ту же точку, которую мы обозначим $C$.

В результате мы имеем прямоугольный треугольник $ABC$, так как:

1. $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \subset \alpha$).

2. $BC$ лежит в плоскости $\beta$ ($BC \subset \beta$).

3. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Следовательно, прямые $AC$ и $BC$ перпендикулярны, и угол $\angle ACB = 90^{\circ}$. Катетами этого треугольника являются отрезки $AC = 3$ см и $BC = 3\sqrt{3}$ см, а гипотенузой — отрезок $AB = 6$ см.

Угол, который образует отрезок с плоскостью $\alpha$

Угол между наклонной (отрезком $AB$) и плоскостью ($\alpha$) — это угол между этой наклонной и её проекцией на данную плоскость. Проекцией точки $A$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $A$. Так как $BC \perp \alpha$, проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$ является точка $C$. Следовательно, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AC$. Искомый угол $\phi_{\alpha}$ равен углу $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Найдём синус этого угла:

$\sin(\phi_{\alpha}) = \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из этого следует, что угол $\phi_{\alpha} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$

Угол, который образует отрезок с плоскостью $\beta$

Аналогично, угол между отрезком $AB$ и плоскостью $\beta$ — это угол между отрезком $AB$ и его проекцией на плоскость $\beta$. Проекцией точки $B$ на плоскость $\beta$ является сама точка $B$. Так как $AC \perp \beta$, проекцией точки $A$ на плоскость $\beta$ является точка $C$. Следовательно, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $BC$. Искомый угол $\phi_{\beta}$ равен углу $\angle ABC$ в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Найдём синус этого угла:

$\sin(\phi_{\beta}) = \sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что угол $\phi_{\beta} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$

14.18. Плоскости трапеций $ABCD$ и $AEFD$ с общим основанием $AD$ перпендикулярны, $\angle BAD = \angle EAD = 90^\circ$, $\angle ADC = \angle ADF = 60^\circ$, $CD = 4$ см, $DF = 8$ см. Найдите расстояние между:

1) прямыми $BC$ и $EF$;

2) точками $C$ и $F$.

По условию, плоскости трапеций $ABCD$ и $AEFD$ с общим основанием $AD$ перпендикулярны. Поскольку $\angle BAD = 90^{\circ}$ и $\angle EAD = 90^{\circ}$, трапеции являются прямоугольными, а ребра $AB$ и $AE$ перпендикулярны их общему основанию $AD$. Так как $AB$ и $AE$ лежат в перпендикулярных плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения $AD$, то угол между прямыми $AB$ и $AE$ равен $90^{\circ}$, то есть $\angle BAE = 90^{\circ}$.

1) расстояние между прямыми BC и EF

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). В трапеции $AEFD$ основания $EF$ и $AD$ параллельны ($EF \parallel AD$). Следовательно, прямые $BC$ и $EF$ параллельны между собой ($BC \parallel EF$).

Расстояние между параллельными прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Рассмотрим отрезок $BE$. Прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(ABE)$, так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AE$. Поскольку $BC \parallel AD$, то и прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ABE)$. А значит, $BC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BE$. Таким образом, $BE$ является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $EF$, и его длина есть искомое расстояние.

Найдем длины катетов $AB$ и $AE$ прямоугольного треугольника $ABE$.
В трапеции $ABCD$ опустим высоту $CH$ на основание $AD$. Тогда $ABCH$ - прямоугольник, и $AB=CH$. Из прямоугольного треугольника $CHD$ находим: $CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см. Значит, $AB = 2\sqrt{3}$ см.

В трапеции $AEFD$ опустим высоту $FK$ на основание $AD$. Тогда $AEFK$ - прямоугольник, и $AE=FK$. Из прямоугольного треугольника $FKD$ находим: $FK = DF \cdot \sin(\angle ADF) = 8 \cdot \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Значит, $AE = 4\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ по теореме Пифагора: $BE^2 = AB^2 + AE^2 = (2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 = 12 + 48 = 60$. $BE = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$ см.

Ответ: $2\sqrt{15}$ см.

2) расстояние между точками C и F

Расстояние между точками $C$ и $F$ равно длине отрезка $CF$. Для ее нахождения построим прямоугольный треугольник в пространстве.

Проведем из точки $F$ перпендикуляр $FK$ к прямой $AD$ ($K \in AD$). Так как плоскость $(AEFD)$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$, а прямая $FK$ лежит в плоскости $(AEFD)$ и перпендикулярна линии их пересечения $AD$, то $FK$ является перпендикуляром ко всей плоскости $(ABCD)$. Следовательно, треугольник $CKF$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CKF = 90^{\circ}$.

По теореме Пифагора для $\triangle CKF$: $CF^2 = CK^2 + FK^2$.

Длина катета $FK$ равна высоте трапеции $AEFD$, которую мы уже нашли: $FK = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения длины катета $CK$ рассмотрим его в плоскости $(ABCD)$. Опустим высоту $CH$ из точки $C$ на прямую $AD$ ($H \in AD$). Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHK$, в котором $\angle CHK=90^{\circ}$. По теореме Пифагора: $CK^2 = CH^2 + HK^2$.

Длина $CH$ равна высоте трапеции $ABCD$: $CH = 2\sqrt{3}$ см.

Для нахождения $HK$ найдем длины отрезков $HD$ и $KD$. Из $\triangle CHD$: $HD = CD \cdot \cos(\angle ADC) = 4 \cdot \cos(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см. Из $\triangle FKD$: $KD = DF \cdot \cos(\angle ADF) = 8 \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см. Тогда $HK = |KD - HD| = |4 - 2| = 2$ см.

Теперь находим $CK^2$: $CK^2 = CH^2 + HK^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16$. Отсюда $CK = \sqrt{16} = 4$ см.

Наконец, находим $CF$ из прямоугольного треугольника $CKF$: $CF^2 = CK^2 + FK^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 48 = 64$. $CF = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

14.19. Плоскости квадрата $ABCD$ и прямоугольника $AEFD$ перпендикулярны. Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$, если площадь квадрата равна $25 \text{ см}^2$, а площадь прямоугольника – $60 \text{ см}^2$.

1. Найдём стороны фигур.
Поскольку ABCD — квадрат и его площадь $S_{ABCD} = 25$ см², то длина его стороны равна $AB = AD = \sqrt{25} = 5$ см. Поскольку AEFD — прямоугольник с площадью $S_{AEFD} = 60$ см² и одной стороной $AD = 5$ см, то длина другой его стороны равна $AE = \frac{S_{AEFD}}{AD} = \frac{60}{5} = 12$ см.

2. Определим взаимное расположение прямых.
В квадрате ABCD противолежащие стороны параллельны, следовательно, $BC \parallel AD$.
В прямоугольнике AEFD противолежащие стороны параллельны, следовательно, $EF \parallel AD$.
Так как прямые $BC$ и $EF$ параллельны одной и той же прямой $AD$, они параллельны между собой: $BC \parallel EF$.

3. Найдём расстояние между параллельными прямыми.
Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. По условию, плоскости (ABCD) и (AEFD) перпендикулярны, и они пересекаются по прямой $AD$. В плоскости прямоугольника (AEFD) проведена прямая $AE$, перпендикулярная линии пересечения $AD$ ($AE \perp AD$, так как AEFD — прямоугольник). По свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости. Следовательно, прямая $AE$ перпендикулярна плоскости (ABCD).

Поскольку прямая $AE$ перпендикулярна плоскости (ABCD), она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $BC$. Таким образом, $AE \perp BC$. Также, в квадрате ABCD смежные стороны перпендикулярны, то есть $AB \perp BC$. Получаем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AE$ и $AB$) в плоскости (ABE). Следовательно, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости (ABE).

Так как прямая $BE$ лежит в плоскости (ABE), то $BC \perp BE$. Поскольку $BC \parallel EF$, то из $BC \perp BE$ следует, что и $EF \perp BE$. Таким образом, отрезок $BE$ является общим перпендикуляром к параллельным прямым $BC$ и $EF$, и его длина есть искомое расстояние.

4. Вычислим длину отрезка BE.
Рассмотрим треугольник ABE. Так как $AE \perp (ABCD)$, то $AE$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в этой плоскости. Значит, $AE \perp AB$, и треугольник ABE является прямоугольным с прямым углом A. По теореме Пифагора: $BE^2 = AB^2 + AE^2$ $BE^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ $BE = \sqrt{169} = 13$ см.

Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$ равно 13 см.
Ответ: 13 см.

14.20. Докажите, что если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.

Для доказательства утверждения введём обозначения. Пусть $\alpha$ — данная плоскость, $a$ — данная прямая, не лежащая в этой плоскости ($a \not\subset \alpha$), и $\beta$ — плоскость, которой перпендикулярны и плоскость $\alpha$, и прямая $a$. Это означает, что $\alpha \perp \beta$ и $a \perp \beta$. Нам нужно доказать, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Доказательство проведём в несколько шагов:

1. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, они пересекаются по некоторой прямой. В плоскости $\alpha$ мы можем построить прямую $b$, перпендикулярную этой линии пересечения. Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. Следовательно, построенная нами прямая $b$ будет перпендикулярна плоскости $\beta$. Таким образом, мы нашли прямую $b$, для которой выполняются условия: $b \subset \alpha$ и $b \perp \beta$.

2. По условию задачи, прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).

3. Теперь мы имеем две прямые, $a$ и $b$, каждая из которых перпендикулярна одной и той же плоскости $\beta$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, следует, что эти прямые параллельны друг другу: $a \parallel b$.

4. Рассмотрим взаимное расположение прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Нам известно, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ (это дано в условии), но при этом она параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ (это мы установили в ходе построения).

5. Применим признак параллельности прямой и плоскости. Он гласит: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Так как $a \not\subset \alpha$ и $a \parallel b$, где $b \subset \alpha$, мы можем сделать вывод, что $a \parallel \alpha$.

Таким образом, мы доказали исходное утверждение.

Ответ: Утверждение доказано. Если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.

14.21. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (то есть, $\alpha \parallel \beta$) и третья плоскость $\gamma$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$ (то есть, $\gamma \perp \alpha$). Требуется доказать, что плоскость $\gamma$ также перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\gamma \perp \beta$).

Доказательство проведём в несколько шагов:

1. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, если две плоскости перпендикулярны, то одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поскольку нам дано, что $\gamma \perp \alpha$, это означает, что в плоскости $\gamma$ существует прямая $a$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы имеем прямую $a$ со свойствами: $a \subset \gamma$ и $a \perp \alpha$.

2. Теперь рассмотрим связь между прямой $a$ и плоскостью $\beta$. Нам известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Существует теорема стереометрии, которая гласит: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. Так как мы знаем, что $a \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, то из этой теоремы следует, что прямая $a$ также перпендикулярна плоскости $\beta$, то есть $a \perp \beta$.

3. На последнем шаге мы используем признак перпендикулярности двух плоскостей. Этот признак утверждает, что если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Мы установили, что прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$) и эта же прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$). Следовательно, по этому признаку, плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\beta$.

Таким образом, мы доказали, что если плоскость $\gamma$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, то плоскость $\gamma$ перпендикулярна и плоскости $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

14.22. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через прямую $AA_1$ и перпендикулярной плоскости $BDD_1$.

Пусть искомая плоскость сечения обозначается как $\alpha$. Согласно условию задачи, эта плоскость должна удовлетворять двум требованиям:1. Проходить через прямую $AA_1$.2. Быть перпендикулярной плоскости $BDD_1$.

Для построения сечения воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Наша задача — найти прямую, которая перпендикулярна плоскости $BDD_1$ и проходит через точку, принадлежащую прямой $AA_1$ (например, точку $A$), чтобы затем провести через эту прямую и прямую $AA_1$ искомую плоскость.

Рассмотрим диагональ основания $AC$.

• Так как $ABCD$ — это квадрат (основание куба), его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
• Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ по определению куба. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и диагонали $AC$. Таким образом, $DD_1 \perp AC$.

Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$), лежащим в плоскости $BDD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BDD_1$, то есть $AC \perp (BDD_1)$.

Итак, мы нашли прямую $AC$, которая проходит через точку $A$ прямой $AA_1$ и перпендикулярна плоскости $BDD_1$. Искомая плоскость сечения $\alpha$ должна проходить через прямую $AA_1$ и быть перпендикулярной плоскости $BDD_1$. Это условие выполняется, если плоскость $\alpha$ содержит прямую $AC$.

Таким образом, искомая плоскость $\alpha$ определяется двумя пересекающимися в точке $A$ прямыми: $AA_1$ и $AC$. Эти две прямые однозначно задают плоскость. Эта плоскость также содержит ребро $CC_1$ (так как $CC_1 \parallel AA_1$) и диагональ $A_1C_1$ (так как $A_1C_1 \parallel AC$). Следовательно, искомой плоскостью является диагональная плоскость $ACC_1A_1$.

Сечением куба данной плоскостью является четырёхугольник $ACC_1A_1$. Поскольку ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, то $AA_1 \perp AC$. Это означает, что $ACC_1A_1$ — прямоугольник.

Ответ: Искомое сечение — прямоугольник $ACC_1A_1$.