Страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.26. Отрезок $MC$ – перпендикуляр к плоскости квадрата $ABCD$. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью $AMD$ равен $45^\circ$. Найдите площадь квадрата, если точка $M$ удалена от прямой $AD$ на 10 см.

Пусть $a$ – сторона квадрата $ABCD$. Тогда $CD = a$.Поскольку отрезок $MC$ перпендикулярен плоскости квадрата $(ABCD)$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MC \perp CD$. Это означает, что треугольник $\triangle MCD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Угол между плоскостью квадрата $(ABCD)$ и плоскостью $(AMD)$ — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линия пересечения этих плоскостей — прямая $AD$.

Для нахождения этого угла построим к линии пересечения $AD$ два перпендикуляра, по одному в каждой плоскости, проведенные к одной точке.

1. В плоскости квадрата $(ABCD)$, так как $ABCD$ — квадрат, сторона $CD$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $CD \perp AD$.

2. В плоскости $(AMD)$ рассмотрим наклонную $MD$ и ее проекцию на плоскость $(ABCD)$. Так как $MC \perp (ABCD)$, то $CD$ является проекцией наклонной $MD$ на плоскость $(ABCD)$. Поскольку проекция $CD$ перпендикулярна прямой $AD$ в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MD$ перпендикулярна прямой $AD$, то есть $MD \perp AD$.

Таким образом, угол $\angle MDC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABCD)$ и $(AMD)$. По условию, $\angle MDC = 45^\circ$.

Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AD$. Мы установили, что $MD \perp AD$, следовательно, длина отрезка $MD$ и есть искомое расстояние. По условию, $MD = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MCD$ (где $\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике известны гипотенуза $MD=10$ см и угол $\angle MDC = 45^\circ$. Мы можем найти катет $CD$, который является стороной квадрата.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:$CD = MD \cdot \cos(\angle MDC)$$CD = 10 \cdot \cos(45^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Площадь квадрата $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — сторона квадрата. В нашем случае $a = CD$.$S_{ABCD} = CD^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ см$^2$.

Ответ: 50 см$^2$.

13.27. Катет $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ лежит в плоскости $\alpha$, а угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha$, если $AB = 15 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$.

Пусть $AH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $AH$ является расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Катет $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $BC$ является линией пересечения плоскости треугольника $ABC$ и плоскости $\alpha$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ — это линейный угол двугранного угла, образованного при их пересечении по прямой $BC$. Чтобы построить этот угол, нужно в каждой плоскости провести перпендикуляр к линии пересечения $BC$ в одной и той же точке.

В плоскости треугольника $ABC$ катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$ ($AC \perp BC$).
Отрезок $AC$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $HC$ — ее проекцией на эту плоскость. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($AC$) перпендикулярна прямой ($BC$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HC$) перпендикулярна этой же прямой. Таким образом, $HC \perp BC$.

Поскольку $AC \perp BC$ и $HC \perp BC$, то угол $\angle ACH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$. По условию, этот угол равен $30^\circ$, то есть $\angle ACH = 30^\circ$.

Для нахождения искомого расстояния $AH$ необходимо сначала найти длину катета $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

$AC = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AHC$. Так как $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HC$. Следовательно, треугольник $AHC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем гипотенузу $AC=12$ см и угол $\angle ACH = 30^\circ$. Катет $AH$ лежит напротив этого угла. Найдем $AH$ через синус угла:

$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 12 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

13.28. Через основание $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $ABC$ равен $45^\circ$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, если $AC = 12$ см, $AB = 10$ см.

Пусть $BH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $BH$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$.

Плоскость треугольника $ABC$ и плоскость $\alpha$ пересекаются по прямой $AC$. Угол между плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Для его построения проведем в равнобедренном треугольнике $ABC$ высоту (она же и медиана) $BM$ к основанию $AC$. Так как $BM$ — высота, то $BM \perp AC$.

Отрезок $HM$ является проекцией наклонной $BM$ на плоскость $\alpha$ (поскольку $BH \perp \alpha$). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $BM$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости $\alpha$, то и ее проекция $HM$ перпендикулярна прямой $AC$ ($HM \perp AC$).

Таким образом, угол $\angle BMH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью $ABC$ и плоскостью $\alpha$. По условию задачи, $\angle BMH = 45^\circ$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $BM$ является медианой, точка $M$ — середина основания $AC$. Следовательно, $AM = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ (поскольку $BM$ — высота, $\angle AMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину высоты $BM$: $BM^2 = AB^2 - AM^2$ $BM^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $BM = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHM$ (поскольку $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $\angle BHM = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BM = 8$ см и острый угол $\angle BMH = 45^\circ$. Искомое расстояние — это катет $BH$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $BH = BM \cdot \sin(\angle BMH)$ $BH = 8 \cdot \sin(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

13.29. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а вершина $A$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если $AB = 8$ см, $\angle ABC = 150^{\circ}$.

Обозначим искомый угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью α через φ. Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла.

1. Построение линейного угла

Поскольку сторона BC треугольника ABC лежит в плоскости α, то прямая BC является линией пересечения плоскостей ABC и α. Из вершины A опустим перпендикуляр AH на плоскость α. Длина этого перпендикуляра является расстоянием от точки A до плоскости α, следовательно, $AH = 2\sqrt{2}$ см. В плоскости треугольника ABC проведем высоту AK к прямой, содержащей сторону BC. Таким образом, AK ⊥ BC. Отрезок HK является проекцией наклонной AK на плоскость α. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная (AK) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости (BC), то и ее проекция (HK) перпендикулярна этой прямой. Значит, HK ⊥ BC. Поскольку AK ⊥ BC и HK ⊥ BC, угол ∠AKH является линейным углом двугранного угла между плоскостями ABC и α. Наша задача — найти величину этого угла, то есть φ = ∠AKH. Треугольник AHK является прямоугольным, так как AH перпендикулярен плоскости α, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая HK.

2. Нахождение высоты AK

Рассмотрим треугольник ABC. По условию дано, что AB = 8 см и ∠ABC = 150°. Так как угол ∠ABC — тупой (150° > 90°), высота AK, опущенная из вершины A на прямую BC, будет располагаться вне треугольника, на продолжении стороны BC за вершину B. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (∠AKB = 90°). Угол ∠ABK является смежным с углом ∠ABC, поэтому их сумма равна 180°. $∠ABK = 180° - ∠ABC = 180° - 150° = 30°$. В прямоугольном треугольнике ABK катет AK лежит напротив угла в 30°. Длина этого катета равна половине длины гипотенузы AB. $AK = AB \cdot \sin(∠ABK) = 8 \cdot \sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

3. Вычисление угла между плоскостями

Вернемся к прямоугольному треугольнику AHK (∠AHK = 90°). Нам известны: - катет AH = $2\sqrt{2}$ см (заданное расстояние от A до α); - гипотенуза AK = 4 см (найденная высота). Синус угла φ = ∠AKH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(φ) = \frac{AH}{AK} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это 45°. Следовательно, угол между плоскостью ABC и плоскостью α равен 45°.

Ответ: 45°.

13.30. Сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$, а расстояние между прямой $BC$ и этой плоскостью равно $7\sqrt{3}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если сторона ромба равна 28 см, а $\angle BAD = 30^{\circ}$.

Обозначим искомый угол между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$ как $\phi$.

По условию, сторона $AD$ ромба $ABCD$ лежит в плоскости $\alpha$. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому $BC \parallel AD$. Так как прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $AD$, которая лежит в этой плоскости, то прямая $BC$ параллельна плоскости $\alpha$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость. Выберем точку $B$ на прямой $BC$ и опустим из нее перпендикуляр $BH$ на плоскость $\alpha$. Тогда точка $H$ лежит в плоскости $\alpha$, а отрезок $BH$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. По условию, расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $\alpha$ равно $7\sqrt{3}$ см, следовательно, $BH = 7\sqrt{3}$ см.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $\alpha$ является двугранным углом, образованным этими плоскостями. Прямая $AD$ является линией пересечения этих плоскостей. Для нахождения величины этого угла построим его линейный угол. Для этого в плоскости ромба $(ABC)$ проведем высоту $BK$ к стороне $AD$, то есть $BK \perp AD$.

Рассмотрим наклонную $BK$ и ее проекцию $HK$ на плоскость $\alpha$ (поскольку $BH \perp \alpha$, точка $B$ проектируется в точку $H$, а точка $K$, лежащая на прямой $AD$ в плоскости $\alpha$, проектируется в саму себя). Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($BK$) перпендикулярна прямой ($AD$), лежащей в плоскости, то и ее проекция ($HK$) перпендикулярна той же прямой. Таким образом, $HK \perp AD$.

Так как $BK \perp AD$ и $HK \perp AD$, то угол $\angle BKH$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью ромба $(ABC)$ и плоскостью $\alpha$. Значит, $\phi = \angle BKH$.

Треугольник $\triangle BKH$ является прямоугольным, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а значит, $BH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $HK$. Угол $\angle BHK = 90^\circ$.

Найдем длину высоты ромба $BK$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Он прямоугольный ($BK \perp AD$). Сторона ромба $AB = 28$ см (гипотенуза), а угол $\angle BAD = 30^\circ$. Длина катета $BK$, лежащего напротив угла в $30^\circ$, равна:$BK = AB \cdot \sin(\angle BAD) = 28 \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle BKH$ нам известны длины катета $BH = 7\sqrt{3}$ см и гипотенузы $BK = 14$ см. Найдем синус угла $\phi = \angle BKH$:$\sin(\phi) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BK} = \frac{7\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

13.31. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$, имеющие общее основание $AB$, лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$, величина которого равна $60^\circ$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AD = 10 \text{ см}$, $AB = 16 \text{ см}$, $\angle ACB = 90^\circ$.

Рассмотрение треугольника ABC

Треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$ и, по условию, прямоугольным с $\angle ACB = 90°$. Проведем высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, $M$ — середина $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, длина $CM$ равна:

$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Поскольку $CM$ является высотой, то $CM \perp AB$.

Ответ: $CM = 8$ см.

Рассмотрение треугольника ABD

Треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. Проведем его высоту $DM$ к основанию $AB$. Так как $M$ — середина $AB$, то $DM$ является и медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMD$. Катет $AM$ равен половине основания $AB$:

$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Гипотенуза $AD = 10$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $DM$:

$DM^2 + AM^2 = AD^2$

$DM^2 + 8^2 = 10^2$

$DM^2 + 64 = 100$

$DM^2 = 100 - 64 = 36$

$DM = \sqrt{36} = 6$ см.

Поскольку $DM$ является высотой, то $DM \perp AB$.

Ответ: $DM = 6$ см.

Нахождение расстояния CD

Треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$. Отрезки $CM$ и $DM$ перпендикулярны ребру $AB$ в одной и той же точке $M$. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CMD$, является линейным углом данного двугранного угла. По условию, его величина равна $60°$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CM = 8$ см, $DM = 6$ см) и угол между ними ($\angle CMD = 60°$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60°)$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$CD^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 100 - 48$

$CD^2 = 52$

$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.

13.32. Треугольники $ABC$ и $ADC$ лежат в разных плоскостях, $AB = BC = AD = CD = 4$ см, $AC = 6$ см, $BD = \sqrt{21}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ADC$ — это величина двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения данных плоскостей является их общая сторона $AC$. Для нахождения угла между плоскостями построим линейный угол этого двугранного угла.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB = BC = 4$ см, он является равнобедренным с основанием $AC$. Проведем в нем медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM \perp AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ стороны $AD = CD = 4$ см, значит, он также является равнобедренным с основанием $AC$. Проведем в нем медиану $DM$ к основанию $AC$. Так как $M$ — середина $AC$, $DM$ является высотой, и, следовательно, $DM \perp AC$.

Поскольку $BM \perp AC$ и $DM \perp AC$, угол $\angle BMD$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ADC$. Найдем величину этого угла.

Для этого рассмотрим треугольник $BMD$ и найдем длины его сторон.
Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.
В прямоугольном треугольнике $ABM$ (угол $\angle AMB = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем катет $BM$:
$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
$BM = \sqrt{7}$ см.
В прямоугольном треугольнике $ADM$ (угол $\angle AMD = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдем катет $DM$:
$DM^2 = AD^2 - AM^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
$DM = \sqrt{7}$ см.
Сторона $BD$ дана по условию: $BD = \sqrt{21}$ см.

Теперь, зная все три стороны треугольника $BMD$, мы можем найти косинус угла $\angle BMD$ по теореме косинусов. Пусть искомый угол $\angle BMD = \alpha$.
$BD^2 = BM^2 + DM^2 - 2 \cdot BM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$
Подставим найденные значения:
$(\sqrt{21})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos(\alpha)$
$21 = 7 + 7 - 2 \cdot 7 \cdot \cos(\alpha)$
$21 = 14 - 14 \cos(\alpha)$
$14 \cos(\alpha) = 14 - 21$
$14 \cos(\alpha) = -7$
$\cos(\alpha) = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$
Отсюда, $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2}) = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

13.33. Точки $A$ и $C$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $120^\circ$. Из точки $A$ опустили перпендикуляр $AB$, а из точки $C$ – перпендикуляр $CD$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $AC$, если $AB = 7$ см, $BD = 3$ см, $CD = 11$ см.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — грани двугранного угла, а $l$ — его ребро. По условию задачи точка $A$ принадлежит грани $\alpha$, а точка $C$ — грани $\beta$. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AB$ и $CD$ на ребро $l$, где точки $B$ и $D$ лежат на ребре $l$.

Нам даны длины этих отрезков: $AB = 7$ см, $CD = 11$ см. Также дано расстояние между основаниями перпендикуляров на ребре: $BD = 3$ см. Угол между гранями $\alpha$ и $\beta$ составляет $120^\circ$.

Для нахождения длины отрезка $AC$ воспользуемся векторным методом. Представим вектор $\vec{AC}$ как сумму векторов, идущих по ломаной линии $A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow C$:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$

Квадрат длины отрезка $AC$ равен скалярному квадрату вектора $\vec{AC}$:

$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = \vec{AC} \cdot \vec{AC} = (\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}) \cdot (\vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$AC^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BD}|^2 + |\vec{DC}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BD} + \vec{AB} \cdot \vec{DC} + \vec{BD} \cdot \vec{DC})$

Теперь найдем значения каждого слагаемого в этом выражении:

1. Квадраты длин векторов: $|\vec{AB}|^2 = AB^2 = 7^2 = 49$; $|\vec{BD}|^2 = BD^2 = 3^2 = 9$; $|\vec{DC}|^2 = CD^2 = 11^2 = 121$.
2. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BD}$. Вектор $\vec{AB}$ перпендикулярен ребру $l$ (по условию). Вектор $\vec{BD}$ лежит на ребре $l$. Следовательно, эти векторы перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = 0$.
3. Скалярное произведение $\vec{BD} \cdot \vec{DC}$. Аналогично, вектор $\vec{DC}$ перпендикулярен ребру $l$, а вектор $\vec{BD}$ лежит на ребре $l$. Поэтому $\vec{BD} \cdot \vec{DC} = 0$.
4. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{DC}$. Двугранный угол $120^\circ$ — это угол между векторами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ему и лежащими в разных гранях. Такими векторами являются, например, $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ (если совместить их начала). Таким образом, угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{DC}$ равен $120^\circ$. Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$ (т.е. $\vec{AB} = -\vec{BA}$). Следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
   Тогда скалярное произведение равно:
   $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(60^\circ) = 7 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2} = \frac{77}{2}$

Теперь подставим все найденные значения в формулу для $AC^2$:

$AC^2 = 49 + 9 + 121 + 2(0 + \frac{77}{2} + 0) = 179 + 77 = 256$

Отсюда находим искомую длину отрезка $AC$:

$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

13.34. Из точек $A$ и $B$, принадлежащих разным граням двугранного угла, опустили перпендикуляры $AC$ и $BD$ на его ребро. Найдите данный двугранный угол, если $AC = CD = BD = 2$ см, $AB = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть данный двугранный угол образован двумя полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$, которая является ребром угла.Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $B$ — в плоскости $\beta$.Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AC$ и $BD$ на ребро $l$. Это означает, что $AC \perp l$ и $BD \perp l$.По условию задачи нам известны следующие длины:$AC = 2$ см$CD = 2$ см$BD = 2$ см$AB = 2\sqrt{2}$ см

Для нахождения величины двугранного угла необходимо найти величину его линейного угла. Линейный угол — это угол между двумя лучами, перпендикулярными ребру, проведенными из одной точки на ребре в разных гранях.

Выполним дополнительное построение. Осуществим параллельный перенос отрезка $AC$ вдоль ребра $l$ на вектор $\vec{CD}$. При этом точка $C$ перейдет в точку $D$, а точка $A$ перейдет в некоторую точку $A'$. В результате этого построения мы получим четырехугольник $CDA'A$. Так как $AA' \parallel CD$ и $AA' = CD$, это параллелограмм. Поскольку $AC \perp CD$ (так как $AC$ перпендикулярен всему ребру $l$), то $CDA'A$ является прямоугольником. Из этого следует, что $A'D = AC = 2$ см и $A'D \perp l$.

Теперь у нас есть два отрезка, $A'D$ и $BD$, которые оба перпендикулярны ребру $l$ и выходят из одной точки $D$. Угол между этими отрезками, $\angle A'DB$, и является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим величину этого угла через $\phi$, т.е. $\angle A'DB = \phi$.

Рассмотрим треугольник $A'DB$. В нем известны две стороны $A'D = 2$ см, $BD = 2$ см и угол между ними $\phi$. По теореме косинусов можем выразить квадрат третьей стороны $A'B$:$(A'B)^2 = (A'D)^2 + (BD)^2 - 2 \cdot (A'D) \cdot (BD) \cdot \cos(\phi)$$(A'B)^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(\phi) = 8 - 8\cos(\phi)$

Теперь рассмотрим треугольник $AA'B$. Из нашего построения мы знаем, что $AA' = CD = 2$ см. Длина стороны $AB$ дана по условию: $AB = 2\sqrt{2}$ см.По построению отрезок $AA'$ параллелен ребру $l$. Плоскость, содержащая треугольник $A'DB$, перпендикулярна ребру $l$, так как два пересекающихся отрезка в этой плоскости ($A'D$ и $BD$) перпендикулярны $l$.Поскольку прямая $AA'$ параллельна прямой $l$, а прямая $l$ перпендикулярна плоскости $(A'DB)$, то и прямая $AA'$ перпендикулярна плоскости $(A'DB)$.Следовательно, $AA'$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $A'B$. Таким образом, $\angle AA'B = 90^\circ$, и треугольник $AA'B$ является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $AA'B$:$AB^2 = (AA')^2 + (A'B)^2$Подставим известные значения:$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 + (A'B)^2$$8 = 4 + (A'B)^2$$(A'B)^2 = 4$

Теперь у нас есть два выражения для $(A'B)^2$. Приравняем их:$8 - 8\cos(\phi) = 4$$8\cos(\phi) = 8 - 4$$8\cos(\phi) = 4$$\cos(\phi) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Из полученного уравнения находим угол $\phi$:$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.

13.35. Концы отрезка $CD$ принадлежат разным граням двугранного угла, равного $30^\circ$. Из точек $C$ и $D$ опустили перпендикуляры $CE$ и $DF$ на ребро двугранного угла. Найдите отрезок $CE$, если $CD = 5$ см, $DF = 4\sqrt{3}$ см, $EF = 2$ см.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — грани двугранного угла, а $l$ — его ребро. По условию, точка $C$ принадлежит грани $\alpha$, а точка $D$ — грани $\beta$. Угол между гранями равен $30^\circ$. Отрезки $CE$ и $DF$ — перпендикуляры, опущенные из точек $C$ и $D$ на ребро $l$, причем точки $E$ и $F$ лежат на ребре $l$.

Спроецируем точку $D$ на плоскость $\alpha$. Обозначим ее проекцию как $D'$. Тогда отрезок $DD'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольник $\triangle DFD'$. Так как $DD' \perp \alpha$ и $FD'$ лежит в плоскости $\alpha$, то $\triangle DFD'$ — прямоугольный. Угол $\angle DFD'$ является линейным углом данного двугранного угла, следовательно, $\angle DFD' = 30^\circ$.

Найдем длины катетов в прямоугольном треугольнике $\triangle DFD'$:

$DD' = DF \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

$FD' = DF \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDD'$, в котором $CD$ является гипотенузой, а $DD'$ и $CD'$ — катетами (поскольку $DD' \perp \alpha$, то $DD'$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе $CD'$). Применим теорему Пифагора:

$CD^2 = (CD')^2 + (DD')^2$

$5^2 = (CD')^2 + (2\sqrt{3})^2$

$25 = (CD')^2 + 12$

$(CD')^2 = 13$, откуда $CD' = \sqrt{13}$ см.

Точки $C, E, F, D'$ лежат в одной плоскости $\alpha$. По условию, $CE$ перпендикулярен ребру $l$, то есть $CE \perp EF$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $DF$ перпендикулярна прямой $EF$, то и ее проекция $D'F$ перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $D'F \perp EF$.

Так как $CE \perp EF$ и $D'F \perp EF$, отрезки $CE$ и $D'F$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $CEFD'$ является прямоугольной трапецией с основаниями $CE$ и $D'F$ и высотой $EF$.

Обозначим искомую длину $CE$ через $x$. В этой трапеции основания равны $x$ и 6, высота равна 2, а боковая сторона $CD'$ равна $\sqrt{13}$. Чтобы найти $x$, проведем из точки $C$ высоту $CH$ к прямой $D'F$. Тогда $CH = EF = 2$, а $D'H = |D'F - CE| = |6-x|$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CD'H$. По теореме Пифагора:

$(CD')^2 = CH^2 + (D'H)^2$

$(\sqrt{13})^2 = 2^2 + |6-x|^2$

$13 = 4 + (6-x)^2$

$(6-x)^2 = 9$

Это уравнение имеет два решения:

1) $6-x = 3 \implies x = 3$

2) $6-x = -3 \implies x = 9$

Оба значения положительны, следовательно, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 3 см или 9 см.

13.36. Отрезок $MA$ – перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $MCD$, если $MA = AB$, $\angle ABC = 120^\circ$.

Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. По условию задачи, $MA = AB$, следовательно, $MA = a$. Отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба, что означает $MA \perp (ABC)$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$ является двугранным углом, ребром которого является прямая $CD$, так как это линия пересечения данных плоскостей. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

В плоскости ромба $(ABC)$ опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $CD$. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является высотой ромба $ABCD$.

Найдем длину высоты $AH$. В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то угол $\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Высоту ромба можно найти по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — острый угол ромба. $AH = AD \cdot \sin(\angle DAB)$, но это неверно. Высота, опущенная из вершины тупого угла, равна $a \cdot \sin(\text{острого угла})$. Рассмотрим площадь ромба: $S = a^2 \cdot \sin(\angle DAB) = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S = CD \cdot AH = a \cdot AH$. Приравняв оба выражения для площади, получим: $a \cdot AH = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ Отсюда, $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямые $MA$, $AH$ и $MH$. $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MH$ — наклонная, а $AH$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$ в плоскости $(ABC)$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $MH$ перпендикулярна этой же прямой: $MH \perp CD$.

Так как $AH \perp CD$ и $MH \perp CD$, то $\angle MHA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$.

Теперь найдем тангенс этого угла. Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AH$. Следовательно, $\triangle MAH$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle MAH$.

Тангенс угла $\angle MHA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAH$ равен отношению противолежащего катета $MA$ к прилежащему катету $AH$: $\tg(\angle MHA) = \frac{MA}{AH}$

Подставим найденные значения $MA = a$ и $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$: $\tg(\angle MHA) = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

13.37. Точка $M$ – середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $BMD$ и $A_1BD$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$ (ось $x$), $DC$ (ось $y$) и $DD_1$ (ось $z$). Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат найдем координаты необходимых нам точек:

• $B(a,a,0)$
• $D(0,0,0)$
• $A_1(a,0,a)$
• $C(0,a,0)$, $C_1(0,a,a)$
• $M$ - середина $CC_1$, поэтому $M(0, a, \frac{a}{2})$

Угол между плоскостями можно найти как угол между их нормальными векторами. Найдем векторы нормали для плоскостей $(BMD)$ и $(A_1BD)$.

1. Плоскость $(A_1BD)$

Эта плоскость проходит через точки $A_1$, $B$, $D$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DA_1}$:

$\vec{DB} = (a-0, a-0, 0-0) = (a, a, 0)$

$\vec{DA_1} = (a-0, 0-0, a-0) = (a, 0, a)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $(A_1BD)$ перпендикулярен обоим этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n_1} = \vec{DB} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot 0 - a \cdot a) = a^2\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n_1} = (a^2, -a^2, -a^2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на $a^2$: $\vec{n_1'} = (1, -1, -1)$.

2. Плоскость $(BMD)$

Эта плоскость проходит через точки $B$, $M$, $D$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{DB}$ и $\vec{DM}$:

$\vec{DB} = (a, a, 0)$

$\vec{DM} = (0-0, a-0, \frac{a}{2}-0) = (0, a, \frac{a}{2})$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $(BMD)$ найдем как их векторное произведение:

$\vec{n_2} = \vec{DB} \times \vec{DM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot \frac{a}{2} - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot a - a \cdot 0) = \frac{a^2}{2}\mathbf{i} - \frac{a^2}{2}\mathbf{j} + a^2\mathbf{k}$

Таким образом, $\vec{n_2} = (\frac{a^2}{2}, -\frac{a^2}{2}, a^2)$. Для удобства можно использовать коллинеарный ему вектор, умножив координаты на $\frac{2}{a^2}$: $\vec{n_2'} = (1, -1, 2)$.

3. Угол между плоскостями

Найдем угол $\phi$ между нормальными векторами $\vec{n_1'} = (1, -1, -1)$ и $\vec{n_2'} = (1, -1, 2)$ по формуле косинуса угла между векторами:

$\cos\phi = \frac{\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'}}{|\vec{n_1'}| \cdot |\vec{n_2'}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{n_1'} \cdot \vec{n_2'} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и плоскости, которым они перпендикулярны, также перпендикулярны.

$\cos\phi = 0$, откуда $\phi = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.