Номер 31, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 31, страница 126.

Условие.

13.31. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$, имеющие общее основание $AB$, лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$, величина которого равна $60^\circ$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AD = 10 \text{ см}$, $AB = 16 \text{ см}$, $\angle ACB = 90^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрение треугольника ABC

Треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$ и, по условию, прямоугольным с $\angle ACB = 90°$. Проведем высоту $CM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, $M$ — середина $AB$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, длина $CM$ равна:

$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Поскольку $CM$ является высотой, то $CM \perp AB$.

Ответ: $CM = 8$ см.

Рассмотрение треугольника ABD

Треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AB$. Проведем его высоту $DM$ к основанию $AB$. Так как $M$ — середина $AB$, то $DM$ является и медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMD$. Катет $AM$ равен половине основания $AB$:

$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Гипотенуза $AD = 10$ см. По теореме Пифагора найдем длину катета $DM$:

$DM^2 + AM^2 = AD^2$

$DM^2 + 8^2 = 10^2$

$DM^2 + 64 = 100$

$DM^2 = 100 - 64 = 36$

$DM = \sqrt{36} = 6$ см.

Поскольку $DM$ является высотой, то $DM \perp AB$.

Ответ: $DM = 6$ см.

Нахождение расстояния CD

Треугольники $ABC$ и $ABD$ лежат в гранях двугранного угла с ребром $AB$. Отрезки $CM$ и $DM$ перпендикулярны ребру $AB$ в одной и той же точке $M$. Следовательно, угол между этими отрезками, $\angle CMD$, является линейным углом данного двугранного угла. По условию, его величина равна $60°$.

Рассмотрим треугольник $CMD$. Мы знаем длины двух его сторон ($CM = 8$ см, $DM = 6$ см) и угол между ними ($\angle CMD = 60°$). Чтобы найти длину третьей стороны $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:

$CD^2 = CM^2 + DM^2 - 2 \cdot CM \cdot DM \cdot \cos(\angle CMD)$

Подставим известные значения:

$CD^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(60°)$

Зная, что $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$CD^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$

$CD^2 = 100 - 48$

$CD^2 = 52$

$CD = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $2\sqrt{13}$ см.