Номер 36, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 36, страница 126.

Условие.

13.36. Отрезок $MA$ – перпендикуляр к плоскости ромба $ABCD$. Найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $MCD$, если $MA = AB$, $\angle ABC = 120^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. По условию задачи, $MA = AB$, следовательно, $MA = a$. Отрезок $MA$ перпендикулярен плоскости ромба, что означает $MA \perp (ABC)$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$ является двугранным углом, ребром которого является прямая $CD$, так как это линия пересечения данных плоскостей. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

В плоскости ромба $(ABC)$ опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $CD$. Таким образом, $AH \perp CD$. Длина отрезка $AH$ является высотой ромба $ABCD$.

Найдем длину высоты $AH$. В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то угол $\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Высоту ромба можно найти по формуле $h = a \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — острый угол ромба. $AH = AD \cdot \sin(\angle DAB)$, но это неверно. Высота, опущенная из вершины тупого угла, равна $a \cdot \sin(\text{острого угла})$. Рассмотрим площадь ромба: $S = a^2 \cdot \sin(\angle DAB) = a^2 \cdot \sin(60^\circ) = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$. С другой стороны, площадь ромба равна произведению его стороны на высоту: $S = CD \cdot AH = a \cdot AH$. Приравняв оба выражения для площади, получим: $a \cdot AH = a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}$ Отсюда, $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямые $MA$, $AH$ и $MH$. $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MH$ — наклонная, а $AH$ — её проекция на эту плоскость. Поскольку проекция $AH$ перпендикулярна прямой $CD$ в плоскости $(ABC)$ (по построению), то по теореме о трех перпендикулярах и наклонная $MH$ перпендикулярна этой же прямой: $MH \perp CD$.

Так как $AH \perp CD$ и $MH \perp CD$, то $\angle MHA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(MCD)$.

Теперь найдем тангенс этого угла. Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Так как $MA \perp (ABC)$, то $MA$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $AH$. Следовательно, $\triangle MAH$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle MAH$.

Тангенс угла $\angle MHA$ в прямоугольном треугольнике $\triangle MAH$ равен отношению противолежащего катета $MA$ к прилежащему катету $AH$: $\tg(\angle MHA) = \frac{MA}{AH}$

Подставим найденные значения $MA = a$ и $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$: $\tg(\angle MHA) = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$