Номер 29, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 13. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Глава 3. Перпендикулярность в пространстве - номер 29, страница 126.

Условие.

13.29. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а вершина $A$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{2}$ см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$, если $AB = 8$ см, $\angle ABC = 150^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомый угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью α через φ. Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом соответствующего двугранного угла.

1. Построение линейного угла

Поскольку сторона BC треугольника ABC лежит в плоскости α, то прямая BC является линией пересечения плоскостей ABC и α. Из вершины A опустим перпендикуляр AH на плоскость α. Длина этого перпендикуляра является расстоянием от точки A до плоскости α, следовательно, $AH = 2\sqrt{2}$ см. В плоскости треугольника ABC проведем высоту AK к прямой, содержащей сторону BC. Таким образом, AK ⊥ BC. Отрезок HK является проекцией наклонной AK на плоскость α. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная (AK) перпендикулярна прямой, лежащей в плоскости (BC), то и ее проекция (HK) перпендикулярна этой прямой. Значит, HK ⊥ BC. Поскольку AK ⊥ BC и HK ⊥ BC, угол ∠AKH является линейным углом двугранного угла между плоскостями ABC и α. Наша задача — найти величину этого угла, то есть φ = ∠AKH. Треугольник AHK является прямоугольным, так как AH перпендикулярен плоскости α, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая HK.

2. Нахождение высоты AK

Рассмотрим треугольник ABC. По условию дано, что AB = 8 см и ∠ABC = 150°. Так как угол ∠ABC — тупой (150° > 90°), высота AK, опущенная из вершины A на прямую BC, будет располагаться вне треугольника, на продолжении стороны BC за вершину B. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (∠AKB = 90°). Угол ∠ABK является смежным с углом ∠ABC, поэтому их сумма равна 180°. $∠ABK = 180° - ∠ABC = 180° - 150° = 30°$. В прямоугольном треугольнике ABK катет AK лежит напротив угла в 30°. Длина этого катета равна половине длины гипотенузы AB. $AK = AB \cdot \sin(∠ABK) = 8 \cdot \sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

3. Вычисление угла между плоскостями

Вернемся к прямоугольному треугольнику AHK (∠AHK = 90°). Нам известны: - катет AH = $2\sqrt{2}$ см (заданное расстояние от A до α); - гипотенуза AK = 4 см (найденная высота). Синус угла φ = ∠AKH равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: $\sin(φ) = \frac{AH}{AK} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, — это 45°. Следовательно, угол между плоскостью ABC и плоскостью α равен 45°.

Ответ: 45°.